МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048438

Что здесь происходит. В трубе два участка: сверху узкий, снизу широкий. В каждом — поршень, поршни связаны жёстким стержнем, между ними заперт газ. Пара поршней может только целиком сдвигаться вверх или вниз. Нужно понять, как изменится объём газа при сдвиге пары вниз на $3$ см и какое изменение температуры для этого нужно.

Дано: $\nu=0{,}2$ моль, $S_1=40\ \text{см}^2=4\cdot10^{-3}$ м² (верх), $S_2=190\ \text{см}^2=1{,}9\cdot10^{-2}$ м² (низ), $p=90$ кПа $=9\cdot10^4$ Па, $p_0=100$ кПа $=10^5$ Па, $\Delta h=3$ см $=0{,}03$ м. Найти: $\Delta T$.

Шаг 1 — равновесие пары поршней. Возьмём оба поршня со стержнем как одно тело. На верхний поршень газ давит вверх ($pS_1$), а воздух — вниз ($p_0S_1$). На нижний поршень газ давит вниз ($pS_2$), а воздух — вверх ($p_0S_2$). Ещё есть сила тяжести поршней $Mg$ вниз. По второму закону Ньютона для покоящейся системы:

$$pS_1-p_0S_1-pS_2+p_0S_2-Mg=0\quad\Rightarrow\quad(p_0-p)(S_2-S_1)=Mg.$$

Масса поршней не дана, но это и не нужно: из этого равенства видно главное — давление газа в равновесии задают только $p_0$, $Mg$ и площади, а от положения поршней оно не зависит. Заодно проверим, что данные согласованы: $Mg=(10^5-9\cdot10^4)\cdot(1{,}9\cdot10^{-2}-4\cdot10^{-3})=10^4\cdot1{,}5\cdot10^{-2}=150$ Н, то есть поршни весят $15$ кг — положительная масса, всё честно. Давление газа меньше атмосферного потому, что вес поршней держит атмосфера: она давит снизу на широкий поршень сильнее, чем сверху на узкий.

Шаг 2 — процесс изобарный. Раз давление газа в равновесии не зависит от положения поршней, при медленном изменении температуры оно всё время остаётся $p=90$ кПа.

Шаг 3 — как меняется объём. Пара сдвигается вниз на $\Delta h$. Верхний (узкий) поршень опускается и отнимает у газа объём $S_1\Delta h$. Нижний (широкий) поршень тоже опускается и освобождает объём $S_2\Delta h$. Итог:

$$\Delta V=S_2\Delta h-S_1\Delta h=(S_2-S_1)\Delta h=1{,}5\cdot10^{-2}\cdot0{,}03=4{,}5\cdot10^{-4}\ \text{м}^3.$$

Объём растёт — значит, газ нужно нагревать.

Шаг 4 — уравнение Менделеева — Клапейрона для начала и конца при одном давлении: $pV_1=\nu RT_1$, $pV_2=\nu RT_2$. Вычитаем:

$$p\,\Delta V=\nu R\,\Delta T\quad\Rightarrow\quad\Delta T=\dfrac{p\,\Delta h\,(S_2-S_1)}{\nu R}=\dfrac{9\cdot10^4\cdot4{,}5\cdot10^{-4}}{0{,}2\cdot8{,}31}=\dfrac{40{,}5}{1{,}662}\approx24\ \text{К}.$$

Проверим себя. Если бы пара сдвинулась вверх на те же $3$ см, объём уменьшился бы на $4{,}5\cdot10^{-4}$ м³, и газ пришлось бы охладить на те же $24$ К — знак изменения температуры определяется направлением сдвига, как и должно быть. И энергетически: газ совершает работу $p\Delta V=40{,}5$ Дж, сила тяжести на спуске поршней — ещё $Mg\Delta h=150\cdot0{,}03=4{,}5$ Дж, а вместе они «отодвигают» атмосферу: $p_0\Delta V=10^5\cdot4{,}5\cdot10^{-4}=45$ Дж. $40{,}5+4{,}5=45$ — сходится.

Почему модель законна. Газ идеальный, его количество постоянно. Труба гладкая, трения нет. Процесс медленный, поэтому поршни в каждый момент в равновесии, а давление газа одинаково во всём объёме. Стержень жёсткий: оба поршня смещаются на одно и то же расстояние; его длина $0{,}5$ м лишь гарантирует, что поршни остаются каждый в своей части трубы.