МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048374

Что здесь происходит. Насос качает воздух в закрытый цилиндр, давление внутри растёт. Клапан сверху прижат стержнем-рычагом, на конце которого висит груз. Когда воздух изнутри надавит на клапан достаточно сильно, рычаг повернётся и клапан откроется. Мы знаем, через сколько секунд это происходит, и по этому времени должны найти температуру воздуха. Задача из двух частей: сначала рычаг (какое нужно давление), потом газ (сколько воздуха для этого надо закачать).

Дано: $V=1{,}2$ м³, $I=0{,}006$ кг/с, $L=1{,}6$ м (длина стержня, плечо груза), $m=4$ кг, $t=640$ с, $S=15\cdot10^{-4}$ м², $l=AB=0{,}16$ м (плечо силы клапана), $\mu=0{,}029$ кг/моль (воздух). Найти: $T$.

Шаг 1 — правило моментов. Стержень невесомый и вращается вокруг оси $A$. В момент открытия на него действуют: снизу в точке $B$ — сила, с которой клапан давит на стержень, на конце стержня — вес груза $mg$. Моменты этих сил относительно $A$ равны:

$$F\cdot l=mg\cdot L\quad\Rightarrow\quad F=mg\,\dfrac{L}{l}=4\cdot10\cdot\dfrac{1{,}6}{0{,}16}=40\cdot10=400\ \text{Н}.$$

Шаг 2 — какое превышение давления нужно. Снаружи на клапан давит атмосфера, изнутри — воздух цилиндра. Поэтому клапан выталкивает только разность давлений: $F=(p-p_0)S=\Delta p\,S$. Отсюда

$$\Delta p=\dfrac{F}{S}=\dfrac{mgL}{lS}=\dfrac{400}{15\cdot10^{-4}}\approx2{,}67\cdot10^5\ \text{Па}.$$

Шаг 3 — сколько воздуха закачано. За $640$ с насос добавил $\Delta m=It=0{,}006\cdot640=3{,}84$ кг воздуха.

Шаг 4 — уравнение состояния. Объём и температура не меняются. Для начального воздуха $p_0V=\dfrac{m_0}{\mu}RT$, для воздуха в момент открытия $pV=\dfrac{m_0+\Delta m}{\mu}RT$. Вычтем:

$$\Delta p\,V=\dfrac{\Delta m}{\mu}RT.$$

Превышение давления создаёт ровно добавленный воздух, а сколько воздуха было вначале, знать не нужно — его давление как раз уравновешено атмосферой снаружи.

Шаг 5 — температура:

$$T=\dfrac{\Delta p\,V\mu}{\Delta m\,R}=\dfrac{mgL\,\mu V}{lS\,R\,It}=\dfrac{2{,}67\cdot10^5\cdot1{,}2\cdot0{,}029}{3{,}84\cdot8{,}31}=\dfrac{9280}{31{,}9}\approx291\ \text{К}.$$

Это около $18\ ^\circ\text{C}$ — обычная температура.

Проверим себя обратным расчётом. При $291$ К, чтобы поднять давление на $2{,}67\cdot10^5$ Па в $1{,}2$ м³, нужно $\Delta m=\dfrac{\Delta p\,V\mu}{RT}=\dfrac{2{,}67\cdot10^5\cdot1{,}2\cdot0{,}029}{8{,}31\cdot291}\approx3{,}84$ кг воздуха, а насос даёт его за $\dfrac{3{,}84}{0{,}006}=640$ с — как в условии.

Почему модель законна. Стержень невесомый и вращается без трения, клапан в момент открытия ещё неподвижен — для стержня выполняется правило моментов. Воздух считаем идеальным газом, температура по условию постоянна, объём цилиндра не меняется, утечек до открытия клапана нет.