МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048375

Что здесь происходит. Пробирка вращается вокруг вертикальной оси (на рисунке — штриховая линия слева). Открытый конец пробирки обращён к оси, запаянный — от оси. Между ртутью и запаянным концом заперт воздух. Чтобы ртуть двигалась по окружности, её должна «тянуть» к оси разность давлений с двух сторон. Если вращение замедлить, разность давлений должна стать меньше, и газу, чтобы не сжиматься и не расширяться, придётся остыть. Найдём, во сколько раз.

Дано: $l=2$ см $=0{,}02$ м, $\omega_1=20\ \text{с}^{-1}$, $\omega_2=\dfrac{\omega_1}{5}=4\ \text{с}^{-1}$, $R=40$ см $=0{,}4$ м, $p_0=10^5$ Па, $\rho=13\,600$ кг/м³ (ртуть). Найти: $\dfrac{T_1}{T_2}$.

Шаг 1 — где газ. По рисунку ось слева, открытый конец пробирки ближе к оси, запаянный — дальше. Воздух заперт между ртутью и запаянным концом, то есть снаружи от ртути (дальше от оси). Со стороны оси на ртуть давит атмосфера.

Шаг 2 — второй закон Ньютона для столбика ртути. Ртуть движется по окружности радиусом $R$ (по её центру масс), ей нужно центростремительное ускорение $\omega^2R$, направленное к оси. Его создаёт разность сил давления: газ толкает ртуть к оси с силой $pS$, атмосфера — от оси с силой $p_0S$. Масса столбика $m=\rho Sl$:

$$pS-p_0S=\rho Sl\,\omega^2R\quad\Rightarrow\quad p=p_0+\rho l\omega^2R.$$

Площадь сечения сократилась — её и не дают.

Шаг 3 — давления до и после:

$$\rho l\omega_1^2R=13\,600\cdot0{,}02\cdot20^2\cdot0{,}4=43\,520\ \text{Па},\qquad p_1=10^5+43\,520=143\,520\ \text{Па}.$$

Угловая скорость уменьшилась в $5$ раз, а в формулу входит её квадрат, поэтому «добавка» уменьшилась в $25$ раз:

$$\rho l\omega_2^2R=\dfrac{43\,520}{25}\approx1741\ \text{Па},\qquad p_2\approx10^5+1741=101\,741\ \text{Па}.$$

Шаг 4 — закон Шарля. Столбик не сдвинулся — значит, объём газа не изменился, процесс изохорный: $\dfrac{p}{T}=\text{const}$. Тогда

$$\dfrac{T_1}{T_2}=\dfrac{p_1}{p_2}=\dfrac{p_0+\rho l\omega_1^2R}{p_0+\rho l\omega_1^2R/25}=\dfrac{143\,520}{101\,741}\approx1{,}41.$$

Температуру нужно уменьшить примерно в $1{,}41$ раза. Начальная температура $10\ ^\circ\text{C}$ на это отношение не влияет — она понадобилась бы, только если бы спрашивали саму конечную температуру.

Проверим себя. Размерность добавки: $\dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}\cdot\text{м}\cdot\text{с}^{-2}\cdot\text{м}=\dfrac{\text{кг}}{\text{м}\cdot\text{с}^2}=\text{Па}$ — верно. Направление тоже разумное: при замедлении газу нужно меньшее давление, а при неизменном объёме давление уменьшается только с охлаждением.

Почему модель законна. Воздух в пробирке — идеальный газ постоянной массы. Ртуть несжимаема, движется вместе с пробиркой по окружности; радиус её движения берём по центру масс столбика (столбик короткий по сравнению с $R$). Объём газа задаётся положением ртути, поэтому при неподвижном столбике процесс изохорный.