МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048413

Что здесь происходит. Цилиндр с воздухом накрыли тяжёлым поршнем — поршень немного опустился и поджал воздух. Потом в дне появилась дырочка, и воздух стал медленно уходить. Поршень при этом сползает вниз, пока не дойдёт до дна, — тогда воздуха не останется. Скорость утечки зависит от того, насколько давление внутри больше атмосферного. Нужно найти, сколько времени займёт утечка.

Дано: $V_0=20$ л $=2\cdot10^{-2}$ м³, $T=20\ ^\circ\text{C}=293$ К, $p_A=10^5$ Па, $m=12$ кг, $S=300\ \text{см}^2=3\cdot10^{-2}$ м², $\alpha=4{,}3\cdot10^{-8}$ моль/(Па$\cdot$с). Найти: $t$.

Шаг 1 — давление под поршнем. На поршень вниз действуют сила тяжести $mg$ и давление атмосферы $p_AS$, вверх — давление воздуха в цилиндре $pS$. Поршень в равновесии (второй закон Ньютона при нулевом ускорении):

$$pS=p_AS+mg\quad\Rightarrow\quad p=p_A+\dfrac{mg}{S}=10^5+\dfrac{12\cdot10}{3\cdot10^{-2}}=10^5+4000=1{,}04\cdot10^5\ \text{Па}.$$

Шаг 2 — почему скорость утечки постоянна. Воздух уходит медленно, поршень сползает без трения и без ускорения, поэтому в каждый момент он в равновесии. Значит, давление под ним всё время равно $p_A+\dfrac{mg}{S}$, а разность давлений $p-p_A=\dfrac{mg}{S}=4000$ Па не меняется до самого конца. Скорость утечки тоже постоянна:

$$\dfrac{\Delta\nu}{\Delta t}=\alpha\,\dfrac{mg}{S}=4{,}3\cdot10^{-8}\cdot4000=1{,}72\cdot10^{-4}\ \dfrac{\text{моль}}{\text{с}}.$$

Шаг 3 — сколько воздуха в цилиндре. Количество воздуха определилось в момент, когда цилиндр закрыли: объём $V_0$, давление $p_A$, температура $T$. По уравнению Менделеева — Клапейрона

$$\nu=\dfrac{p_AV_0}{RT}=\dfrac{10^5\cdot2\cdot10^{-2}}{8{,}31\cdot293}=\dfrac{2000}{2434{,}8}\approx0{,}821\ \text{моль}.$$

Когда поршень опустился, воздух сжался изотермически до объёма $V_1=\dfrac{p_AV_0}{p}=\dfrac{20}{1{,}04}\approx19{,}2$ л, но количество вещества осталось тем же: $pV_1=p_AV_0$. Брать давление $p$ вместе с объёмом $20$ л нельзя — это пара величин из разных состояний.

Шаг 4 — время утечки. При постоянной скорости весь воздух выйдет за время

$$t=\dfrac{\nu}{\alpha\,mg/S}=\dfrac{p_AV_0S}{\alpha mgRT}=\dfrac{0{,}821}{1{,}72\cdot10^{-4}}\approx4{,}8\cdot10^3\ \text{с}\approx80\ \text{мин}.$$

Проверим себя размерностью: $\dfrac{\text{моль}}{\text{моль}/(\text{Па}\cdot\text{с})\cdot\text{Па}}=\text{с}$ — получились секунды. И по порядку: за минуту уходит $1{,}72\cdot10^{-4}\cdot60\approx0{,}0103$ моль, за $80$ минут — около $0{,}82$ моль, то есть весь запас.

Почему модель законна. Воздух считаем идеальным газом. Утечка медленная, поэтому поршень движется без ускорения и в каждый момент находится в равновесии, а температура по условию не меняется (изотермический процесс). Трения нет, поэтому давление под поршнем определяется только его весом и атмосферой — и остаётся постоянным, пока поршень не коснётся дна.