МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048373

Что здесь происходит. Труба состоит из широкой верхней части и узкой нижней. В каждой части — свой поршень, поршни связаны нитью, между ними заперт один моль газа. Газ нагревают, он расширяется и сдвигает всю пару поршней. Нужно найти, на сколько градусов надо нагреть газ, чтобы пара сдвинулась на $5$ см.

Дано: $\nu=1$ моль, $\Delta S=S_{\text{в}}-S_{\text{н}}=20\ \text{см}^2=2\cdot10^{-3}$ м², $M=5$ кг, $p_0=10^5$ Па, $\Delta h=5$ см $=0{,}05$ м. Найти: $\Delta T$.

Шаг 1 — какие силы действуют на пару поршней. Рассмотрим оба поршня с нитью как одно тело. Нить — внутренняя связь, её силы в сумме дают ноль. Внешние силы такие:

— газ давит на верхний поршень снизу вверх с силой $pS_{\text{в}}$, а на нижний — сверху вниз с силой $pS_{\text{н}}$;

— наружный воздух давит на верхний поршень сверху вниз с силой $p_0S_{\text{в}}$, а на нижний — снизу вверх с силой $p_0S_{\text{н}}$;

— сила тяжести $Mg$ направлена вниз.

Шаг 2 — условие равновесия. Поршни покоятся (и при медленном нагреве движутся без ускорения), поэтому по второму закону Ньютона сумма сил равна нулю:

$$pS_{\text{в}}-pS_{\text{н}}-p_0S_{\text{в}}+p_0S_{\text{н}}-Mg=0\quad\Rightarrow\quad(p-p_0)\,\Delta S=Mg.$$

Отсюда давление газа:

$$p=p_0+\dfrac{Mg}{\Delta S}=10^5+\dfrac{5\cdot10}{2\cdot10^{-3}}=10^5+2{,}5\cdot10^4=1{,}25\cdot10^5\ \text{Па}.$$

Газ давит сильнее атмосферы: этот перевес на разности площадей и держит вес поршней. Газ распирает поршни в разные стороны, поэтому нить натянута.

Шаг 3 — почему давление при нагреве не меняется. В условие равновесия не входит положение поршней: при любом их сдвиге давление газа должно оставаться $1{,}25\cdot10^5$ Па. Значит, при медленном нагреве газ расширяется изобарно.

Шаг 4 — как меняется объём газа. При нагреве объём растёт. Если пара поднимется на $\Delta h$, сверху газ получит объём $S_{\text{в}}\Delta h$, а снизу потеряет $S_{\text{н}}\Delta h$. Верхнее сечение больше, поэтому объём вырастет — значит, поршни идут вверх, и

$$\Delta V=(S_{\text{в}}-S_{\text{н}})\Delta h=\Delta S\,\Delta h=2\cdot10^{-3}\cdot0{,}05=10^{-4}\ \text{м}^3.$$

Шаг 5 — уравнение Менделеева — Клапейрона для двух состояний при одном давлении: $pV_1=\nu RT_1$ и $pV_2=\nu RT_2$. Вычитаем одно из другого:

$$p\,\Delta V=\nu R\,\Delta T\quad\Rightarrow\quad\Delta T=\dfrac{p\,\Delta V}{\nu R}=\dfrac{1{,}25\cdot10^5\cdot10^{-4}}{1\cdot8{,}31}=\dfrac{12{,}5}{8{,}31}\approx1{,}5\ \text{К}.$$

Изменение температуры в кельвинах и в градусах Цельсия одинаково, поэтому газ надо нагреть на $1{,}5\ ^\circ\text{C}$.

Проверим себя. В общем виде $\Delta T=\dfrac{\Delta h\,(p_0\Delta S+Mg)}{\nu R}$. Работа газа при этом $p\Delta V=12{,}5$ Дж: из них $p_0\Delta V=10$ Дж уходит на то, чтобы «отодвинуть» атмосферу, и $Mg\Delta h=50\cdot0{,}05=2{,}5$ Дж — на подъём поршней. $10+2{,}5=12{,}5$ — сходится.

Почему модель законна. Газ идеальный, его количество постоянно (поршни плотно прилегают). Труба гладкая — трения нет. Нагрев медленный, поэтому в каждый момент поршни в равновесии, а давление газа одинаково по всему объёму. Поршни вместе с нерастяжимой нитью движутся как одно тело, их можно рассматривать как систему с общей массой $M$.