МКТ — Задание 23 ЕГЭ по физике №00050777

Дано:

$T_1 = 500$ К

$T_3 = 700$ К

Найти: $T_2$ — ?

Способ I

Процесс 1–2 изохорный ($V_1 = V_2$), масса газа постоянна. По закону Шарля:

$\dfrac{p_2}{p_1} = \dfrac{T_2}{T_1}, \quad (1)$

где $p_1$, $p_2$ — давление газа в состояниях 1 и 2.

Процесс 2–3 изобарный ($p_2 = p_3$). По закону Гей-Люссака:

$\dfrac{V_3}{V_2} = \dfrac{T_3}{T_2}, \quad (2)$

где $V_2$, $V_3$ — объём газа в состояниях 2 и 3.

Процесс 3–1 изображён прямой, продолжение которой проходит через начало координат. Значит, на этом участке давление прямо пропорционально объёму, $p \sim V$:

$\dfrac{p_3}{p_1} = \dfrac{V_3}{V_1}.$

Так как $V_1 = V_2$ и $p_3 = p_2$:

$\dfrac{p_2}{p_1} = \dfrac{V_3}{V_2}. \quad (3)$

Левые части (1) и (2) равны правым частям (3), поэтому:

$\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{T_3}{T_2} ;\Rightarrow; T_2 = \sqrt{T_1T_3} = \sqrt{500 \cdot 700} \approx 592 \text{ К}.$

Способ II

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для каждого состояния:

$p_1V_1 = \nu RT_1, \quad p_2V_2 = \nu RT_2, \quad p_3V_3 = \nu RT_3,$

где $p_1, p_2, p_3$ и $V_1, V_2, V_3$ — давления и объёмы газа в состояниях 1, 2 и 3, $\nu$ — количество вещества газа, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Поделим второе уравнение на первое с учётом $V_1 = V_2$: получим $\dfrac{p_2}{p_1} = \dfrac{T_2}{T_1}$ (1).

Поделим третье уравнение на второе с учётом $p_2 = p_3$: получим $\dfrac{V_3}{V_2} = \dfrac{T_3}{T_2}$ (2).

На участке 3–1 давление прямо пропорционально объёму (прямая проходит через начало координат), поэтому $\dfrac{p_3}{p_1} = \dfrac{V_3}{V_1}$. С учётом $V_1 = V_2$ и $p_3 = p_2$ получаем $\dfrac{p_2}{p_1} = \dfrac{V_3}{V_2}$ (3).

Подставим (1) и (2) в (3):

$\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{T_3}{T_2} ;\Rightarrow; T_2 = \sqrt{T_1T_3} = \sqrt{500 \cdot 700} \approx 592 \text{ К}.$