Задание 22 ЕГЭ по физике №00048659

Что здесь происходит. Шайба въезжает со скоростью $v_0$ на шероховатый участок и тормозится трением, пока не остановится в точке $x_0=2L$. Сложность в том, что коэффициент трения меняется от точки к точке, поэтому и сила трения переменная — ускорение непостоянно, формулы равноускоренного движения не годятся. Зато работу переменной силы можно найти по графику.

Модель. Систему отсчёта, связанную с плоскостью (с Землёй), считаем инерциальной. Шайба маленькая — материальная точка: в каждый момент она целиком находится в точке с одним значением $\mu$. Плоскость горизонтальна, ускорения по вертикали нет, поэтому $N=mg$ везде. Шайба скользит, значит трение — трение скольжения, $F_{\text{тр}}=\mu(x)\,mg$, и оно всё время направлено против скорости. Сила тяжести и реакция опоры перпендикулярны перемещению и работы не совершают. Тогда применима теорема о кинетической энергии: её изменение равно работе силы трения.

Рисунок сил на шероховатом участке: $m\vec g$ вниз, $\vec N$ вверх, сила трения скольжения $\vec F_{\text{тр}}$ против скорости, то есть против оси $x$.

Шаг 1 — числа. Из $2L=20$ м получаем $L=10$ м.

Шаг 2 — работа трения через площадь. Работа силы $F_{\text{тр}}=mg\,\mu(x)$ на пути от $0$ до $2L$ равна площади под графиком силы. Множитель $mg$ постоянен, поэтому

$$|A_{\text{тр}}|=mg\cdot S,$$

где $S$ — площадь под графиком $\mu(x)$ от $x=0$ до $x=2L$.

Шаг 3 — считаем площадь по рисунку. На отрезке от $0$ до $L$ коэффициент растёт от $0$ до $\mu_0$ — треугольник площадью $\dfrac{\mu_0L}{2}$. Дальше $\mu$ линейно убывает от $\mu_0$ в точке $L$ до нуля в точке $3L$, поэтому ровно посередине, в точке $2L$, он равен $\dfrac{\mu_0}{2}$. От $L$ до $2L$ получается трапеция:

$$S=\dfrac{\mu_0L}{2}+\dfrac{\mu_0+\dfrac{\mu_0}{2}}{2}\,L=\dfrac{\mu_0L}{2}+\dfrac{3\mu_0L}{4}=\dfrac{5\mu_0L}{4}.$$

Шаг 4 — теорема о кинетической энергии. В конце шайба стоит:

$$0-\dfrac{mv_0^2}{2}=-mg\cdot\dfrac{5\mu_0L}{4}\quad\Rightarrow\quad v_0=\sqrt{\dfrac{5\mu_0gL}{2}}=\sqrt{\dfrac{5\cdot0{,}5\cdot10\cdot10}{2}}=\sqrt{125}\approx11{,}2\ \text{м/с}.$$

Масса шайбы сократилась — поэтому её и не дали.

Проверим себя. Если бы на всём пути $2L$ коэффициент был максимальным, $\mu_0$, понадобилось бы $v_0=\sqrt{2\mu_0g\cdot2L}=\sqrt{200}\approx14{,}1$ м/с — больше нашего, и это верно: у нас средний коэффициент на пути меньше $\mu_0$ (он равен $\dfrac{S}{2L}=\dfrac{5}{8}\mu_0$).