Задание 22 ЕГЭ по физике №00048232

Что тут происходит. Шарик висит на лёгком жёстком стержне, который может свободно поворачиваться вокруг шарнира наверху. В шарик горизонтально влетает пуля и застревает. Шарик с пулей получает скорость, поднимается по окружности радиусом $l$ и проходит верхнюю точку. Нужно сравнить его ускорение в верхней точке с $g$.

Дано: $m_1=5\ \text{г}=0{,}005\ \text{кг}$, $V=200\ \text{м/с}$, $m_2=200\ \text{г}=0{,}2\ \text{кг}$, $l=0{,}5\ \text{м}$, $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти: $\dfrac{g}{a}$.

Шаг 1 — удар, закон сохранения импульса. Удар длится очень недолго. Стержень невесомый и закреплён шарниром, поэтому он может действовать на шарик только вдоль себя, то есть в этот момент вертикально. Сила тяжести тоже вертикальна. Значит, горизонтальный импульс системы «пуля + шарик» сохраняется. Пуля застревает, и дальше они движутся вместе:

$$m_1V=(m_1+m_2)u\quad\Rightarrow\quad u=\dfrac{m_1V}{m_1+m_2}=\dfrac{0{,}005\cdot200}{0{,}205}=\dfrac{1}{0{,}205}\approx4{,}88\ \text{м/с}.$$

Механическая энергия при таком ударе не сохраняется — большая её часть уходит в тепло, поэтому энергию считаем только после удара.

Шаг 2 — подъём, закон сохранения энергии. После удара трения нет, сила натяжения стержня перпендикулярна скорости и работы не совершает. Шарик поднимается на высоту диаметра окружности $2l=1$ м:

$$\dfrac{u^2}{2}=\dfrac{\upsilon^2}{2}+g\cdot2l\quad\Rightarrow\quad\upsilon^2=u^2-4gl\approx23{,}80-20=3{,}80\ \text{м}^2/\text{с}^2.$$

Значение положительное — шарик действительно доходит до верхней точки (стержень жёсткий, поэтому ему достаточно любой ненулевой скорости).

Шаг 3 — ускорение в верхней точке. Там на шарик действуют сила тяжести и сила со стороны стержня — обе вертикальны, а скорость горизонтальна. Значит, касательного ускорения нет, и полное ускорение — центростремительное:

$$a=\dfrac{\upsilon^2}{l}=\dfrac{3{,}80}{0{,}5}\approx7{,}59\ \text{м/с}^2.$$

Шаг 4 — отношение: $\dfrac{g}{a}=\dfrac{10}{7{,}59}\approx1{,}32$. В общем виде $\dfrac{g}{a}=\dfrac{gl}{u^2-4gl}$.

Проверим себя. Ускорение $7{,}59$ м/с² меньше $g$ — значит, сила тяжести «лишняя» для поворота, и стержень в верхней точке подпирает шарик снизу с силой $(m_1+m_2)(g-a)\approx0{,}205\cdot2{,}41\approx0{,}49$ Н. Для жёсткого стержня это возможно. Обратный пересчёт: $a=\dfrac{g}{1{,}3175}\approx7{,}59$ м/с², $\upsilon^2=a l\approx3{,}80$ — совпадает с шагом 2.