Задание 22 ЕГЭ по физике №00048230

Что тут происходит. Лёгкая шайба налетает на тяжёлую, которая стоит. После удара лёгкая замирает на месте, а тяжёлая уезжает. Удар не вполне упругий: половина кинетической энергии лёгкой шайбы ушла на нагрев и деформацию. Нужно найти, во сколько раз вторая шайба тяжелее первой.

Дано: скорость первой шайбы до удара $\upsilon$, после удара $0$; вторая до удара покоится, после — скорость $u$; доля энергии, ушедшая во внутреннюю, $\eta=0{,}5$. Найти: $\dfrac{m_2}{m_1}$.

Шаг 1 — закон сохранения импульса. Поверхность гладкая и горизонтальная: по горизонтали внешних сил нет, а сила тяжести и реакция опоры по вертикали уравновешены. Шайбы одинакового размера, удар центральный, всё происходит вдоль одной прямой. Импульс системы сохраняется:

$$m_1\upsilon=m_2u.$$

Шаг 2 — энергия. Механическая энергия при неупругом ударе не сохраняется, но полная энергия сохраняется: начальная кинетическая энергия первой шайбы разделилась на внутреннюю энергию (доля $\eta$) и кинетическую энергию второй шайбы (оставшаяся доля $1-\eta$):

$$\dfrac{m_2u^2}{2}=(1-\eta)\dfrac{m_1\upsilon^2}{2}.$$

Шаг 3 — исключаем скорости. Из шага 1 $u=\dfrac{m_1\upsilon}{m_2}$. Подставляем: $\dfrac{m_2}{2}\cdot\dfrac{m_1^2\upsilon^2}{m_2^2}=(1-\eta)\dfrac{m_1\upsilon^2}{2}$, то есть $\dfrac{m_1}{m_2}=1-\eta$. Отсюда

$$\dfrac{m_2}{m_1}=\dfrac{1}{1-\eta}=\dfrac{1}{1-0{,}5}=2.$$

Проверим себя. Пусть $m_1=1$ кг, $\upsilon=2$ м/с, $m_2=2$ кг. Тогда $u=1$ м/с. Энергия до удара $\dfrac{1\cdot4}{2}=2$ Дж, после — $\dfrac{2\cdot1}{2}=1$ Дж, ушла половина. И вторая шайба действительно тяжелее, как и сказано в условии. А при упругом ударе ($\eta=0$) формула даёт равные массы — известный случай, когда налетающий шар останавливается.