Задание 22 ЕГЭ по физике №00048182

Что тут происходит. Шарики стоят в ряд на гладком жёлобе. Первый толкают, он бьёт второй, второй — третий, и так по цепочке. Шарики почти абсолютно упругие и одинаковые, поэтому ударивший шарик после удара почти останавливается, а сосед уезжает. Но «почти упругие» — значит, при каждом ударе часть энергии уходит на нагрев и деформацию шариков. За $5$ ударов движение дошло до шестого шарика, и его скорость уже $0{,}8V_1$. Нужно найти, сколько процентов энергии теряется при одном ударе.

Дано: $n=5$ соударений, $V_6=0{,}8V_1$, шарики одинаковые (масса $m$). Найти: долю потерь $\eta$ при одном ударе, в процентах.

Шаг 1 — модель одного удара. Ударивший шарик почти останавливается, значит, вся энергия, которую он не передал соседу, потеряна. Если теряется доля $\eta$, то соседу достаётся доля $1-\eta$ энергии движущегося шарика. Удары одинаковые, так что эта доля для всех ударов одна и та же. Между ударами шарик катится по гладкому горизонтальному жёлобу, и его энергия не меняется.

Шаг 2 — цепочка из пяти ударов. Каждый удар умножает энергию на $1-\eta$. Шестой шарик приходит в движение после пятого удара:

$$E_6=(1-\eta)^5E_1.$$

Шаг 3 — переходим к скоростям. Массы одинаковые, поэтому отношение энергий равно квадрату отношения скоростей:

$$\dfrac{E_6}{E_1}=\left(\dfrac{V_6}{V_1}\right)^2=0{,}8^2=0{,}64.$$

Шаг 4 — доля, передаваемая за один удар. Из $(1-\eta)^5=0{,}64$:

$$1-\eta=0{,}64^{1/5}=0{,}8^{2/5}.$$

Считаем через логарифм: $\lg0{,}64\approx-0{,}194$, делим на $5$: $-0{,}0388$, и $10^{-0{,}0388}\approx0{,}915$. Значит, при каждом ударе передаётся около $91{,}5\,\%$ энергии, а теряется

$$\eta=1-0{,}915\approx0{,}085,\ \text{то есть}\ \approx8{,}5\,\%.$$

Проверим себя. Обратный ход: $0{,}915^5\approx0{,}64=0{,}8^2$ — сошлось. Заметь: за всю цепочку потеряно $1-0{,}64=36\,\%$ энергии, но спрашивают потери за один удар — они меньше и складываются не простым сложением, а умножением долей. И зависимость правильная: если бы до той же скорости $0{,}8V_1$ движение доходило через большее число ударов, потери на одном ударе были бы меньше.