Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00048620

Что здесь происходит. Через отверстие $A$ проходит один-единственный луч от источника. Его путь состоит из двух прямых: до линзы — через $S$ и $A$, после линзы — до пересечения с осью в $18$ см. Связать эти два куска позволяет особое место отверстия — передняя фокальная плоскость.

Дано: $D=5$ дптр, $b=70$ см, $H=10$ см, $x=18$ см. Найти: $h$.

Шаг 1 — фокусное расстояние: $F=\dfrac{1}{D}=0{,}2$ м $=20$ см. Экран с отверстием стоит в $20$ см слева от линзы.

Шаг 2 — свойство передней фокальной плоскости. Все лучи, вышедшие из одной точки передней фокальной плоскости, после линзы идут параллельно друг другу. Их общее направление задаёт луч через $A$ и оптический центр $O$ — он не преломляется. Его наклон к оси — $\dfrac{h}{F}$: на каждый сантиметр пути он опускается на $\dfrac{h}{F}$.

Шаг 3 — после линзы. Наш луч выходит из линзы на высоте $y_0$ и, опускаясь с наклоном $\dfrac{h}{F}$, доходит до оси через $x=18$ см:

$$y_0=\dfrac{hx}{F}=\dfrac{18}{20}h=0{,}9h.$$

Шаг 4 — до линзы. Точки $S$ (на высоте $10$ см, в $70$ см от линзы), $A$ (на высоте $h$, в $20$ см) и точка входа в линзу (высота $y_0$) лежат на одной прямой. От $S$ до $A$ — $50$ см по горизонтали, от $A$ до линзы — $20$ см, поэтому высота меняется пропорционально:

$$y_0=h-(10-h)\cdot\dfrac{20}{50}=1{,}4h-4.$$

Шаг 5 — приравниваем: $1{,}4h-4=0{,}9h$, $0{,}5h=4$, $h=8$ см. В общем виде $h=\dfrac{F^2H}{F(b+x)-bx}=\dfrac{400\cdot10}{20\cdot88-70\cdot18}=\dfrac{4000}{500}=8$ см.

Проверим себя через изображение источника. После линзы луч от $S$ обязан пройти через изображение $S'$. По формуле линзы $f=\dfrac{70\cdot20}{70-20}=28$ см, $S'$ на $\dfrac{28}{70}\cdot10=4$ см ниже оси. Наш луч выходит на высоте $y_0=7{,}2$ см и опускается на $\dfrac{8}{20}=0{,}4$ см на сантиметр: через $28$ см его высота $7{,}2-11{,}2=-4$ см — ровно в $S'$. Сходится. И качественно: $h=8\lt H=10$ — луч от $S$ к $A$ идёт вниз, к оси, как на рисунке.

Рисунок. Ось, линза, экран в левой фокальной плоскости с отверстием $A$ над осью, источник $S$; луч $SA$ до линзы; пунктиром — вспомогательный луч $AO$; после линзы наш луч идёт параллельно $AO$ и пересекает ось в $18$ см.

Почему модель законна. Линза тонкая, лучи приосевые; отверстие маленькое, дифракцией пренебрегаем — через него проходит один геометрический луч.