Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00048613

Что здесь происходит. По рисунку вершина $A$ острого угла лежит на оси на расстоянии $3F$ от линзы, вершина $B$ прямого угла — дальше от линзы, тоже на оси, а катет $BC$ поднимается вертикально над $B$. Изображение треугольника — снова треугольник: линза переводит отрезки в отрезки. Неизвестное расстояние $OB=x$ влияет сразу на оба катета изображения.

Дано: $F=3$ см, $OA=3F$, $BC=F$, $\dfrac{S}{S'}=k=18$. Найти: $OB$.

Шаг 1 — поперечные увеличения. По формуле тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$ для точки на расстоянии $d$ получаем $f=\dfrac{dF}{d-F}$ и увеличение $\Gamma=\dfrac{f}{d}=\dfrac{F}{d-F}$. Для $A$: $\Gamma_A=\dfrac{F}{3F-F}=\dfrac{1}{2}$, изображение $A'$ на $f_A=1{,}5F$. Для $B$: $\Gamma_B=\dfrac{F}{x-F}$, изображение $B'$ на $f_B=\dfrac{xF}{x-F}$.

Шаг 2 — вертикальный катет. Все точки $BC$ стоят на расстоянии $x$, поэтому $B'C'$ вертикален и $B'C'=\Gamma_B\cdot BC=\Gamma_BF$.

Шаг 3 — катет на оси:

$$A'B'=f_A-f_B=\dfrac{3F}{2}-\dfrac{xF}{x-F}=\dfrac{F(x-3F)}{2(x-F)}=\Gamma_A\Gamma_B\,(x-3F)=\Gamma_A\Gamma_B\cdot AB.$$

Продольный размер изменился в $\Gamma_A\Gamma_B$ раз — в произведение поперечных увеличений на концах отрезка.

Шаг 4 — отношение площадей. У предмета $S=\dfrac{1}{2}AB\cdot BC$, у изображения $S'=\dfrac{1}{2}A'B'\cdot B'C'=\Gamma_A\Gamma_B\cdot\Gamma_B\cdot S$. Значит,

$$\dfrac{S'}{S}=\Gamma_A\Gamma_B^2=\dfrac{1}{2}\Gamma_B^2=\dfrac{1}{18},\qquad\Gamma_B^2=\dfrac{1}{9}.$$

Шаг 5 — выбор корня. $\Gamma_B=\dfrac{F}{x-F}=\dfrac{1}{3}$ даёт $x-F=3F$, $x=4F$. Отрицательный корень $\Gamma_B=-\dfrac{1}{3}$ дал бы $x=-2F$ — точка по другую сторону линзы, что противоречит рисунку. Значит, $OB=4F=4\cdot3=12$ см.

Проверим себя прямым счётом в долях $F$. $B$ на $4F$: $f_B=\dfrac{4F}{3}$, $B'C'=\dfrac{F}{3}$; $A'B'=1{,}5F-\dfrac{4F}{3}=\dfrac{F}{6}$. Тогда $S'=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{F}{6}\cdot\dfrac{F}{3}=\dfrac{F^2}{36}$, а $S=\dfrac{1}{2}\cdot F\cdot F=\dfrac{F^2}{2}$ — ровно в $18$ раз больше. Заметим и ориентацию: у предмета $B$ дальше от линзы, чем $A$, а у изображения $B'$ ($\dfrac{4F}{3}$) ближе к линзе, чем $A'$ ($1{,}5F$), — треугольник «развернулся» вдоль оси.

Почему модель законна. Линза тонкая, размеры треугольника (порядка $F$) берём в рамках формулы тонкой линзы — лучи считаются приосевыми, отрезки изображаются отрезками.