Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00048619

Что здесь происходит. Плёнка стоит в фокусе объектива — он «наведён на бесконечность». Точка на конечном расстоянии $d$ изображается чуть дальше плёнки, и на плёнке вместо точки получается кружок. Самое близкое расстояние, при котором кружок ещё не больше $\delta=0{,}05$ мм, зависит от фокусного расстояния. Зная, в каких пределах меняется это расстояние, найдём пределы для $F$.

Дано: $\delta=0{,}05$ мм $=5\cdot10^{-5}$ м, $\alpha=4$, $d$ от $12{,}5$ до $50$ м. Найти: диапазон $F$.

Шаг 1 — где изображение точки. По формуле тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$: $f=\dfrac{dF}{d-F}$ — чуть больше $F$.

Шаг 2 — диаметр пятна (рисунок: объектив с отверстием диаметром $D$, плёнка в фокальной плоскости, конус лучей от точки сходится за плёнкой в точке $f$, на плёнке — кружок диаметром $\delta$). По подобию треугольников с вершиной в изображении:

$$\dfrac{\delta}{D}=\dfrac{f-F}{f}=1-\dfrac{F}{f}=1-\dfrac{d-F}{d}=\dfrac{F}{d}.$$

Шаг 3 — отверстие. Относительное отверстие $\alpha=\dfrac{F}{D}$ при смене фокуса не меняется, значит $D=\dfrac{F}{\alpha}$ растёт вместе с $F$. Тогда

$$\delta=\dfrac{DF}{d}=\dfrac{F^2}{\alpha d},\qquad F=\sqrt{\alpha\delta d}.$$

Пятно растёт как квадрат фокусного расстояния: длиннофокусный объектив резок только для дальних предметов.

Шаг 4 — концы диапазона. На границе резкости пятно ровно $\delta$:

$$F_1=\sqrt{4\cdot5\cdot10^{-5}\cdot12{,}5}=\sqrt{2{,}5\cdot10^{-3}}=0{,}05\ \text{м},\qquad F_2=\sqrt{4\cdot5\cdot10^{-5}\cdot50}=\sqrt{10^{-2}}=0{,}1\ \text{м}.$$

Фокусное расстояние меняется от $5$ до $10$ см; меньшему $F$ соответствует граница $12{,}5$ м, большему — $50$ м.

Проверим себя. Концы диапазона расстояний отличаются в $4$ раза, а $F\propto\sqrt{d}$ — концы диапазона фокусов должны отличаться в $2$ раза: $\dfrac{10}{5}=2$. Сходится.

Почему модель законна. Объектив — тонкая линза, точка на оси, отверстие объектива ограничивает конус лучей; размытие считаем геометрически.