Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00048611

Что здесь происходит. Треугольник стоит так же, как на рисунке: острый угол на оси в точке $2F$, катет $D$ уходит по оси от линзы, вертикальный катет $H$ — у дальнего конца. Площадь изображения известна, а неизвестна высота $H$. Найдём размеры изображения в буквах и свяжем их с $H$.

Дано: $D=2$ см, $F=18$ см, $S'=2{,}43$ см². Найти: $H$.

Шаг 1 — вершина острого угла на расстоянии $2F=36$ см: по формуле тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$ её изображение тоже на $36$ см, на оси.

Шаг 2 — вертикальный катет на расстоянии $d_2=2F+D=38$ см. Изображение на расстоянии $f_2=\dfrac{38\cdot18}{20}=34{,}2$ см — между $F$ и $2F$, как и должно быть у предмета за $2F$. Увеличение $\Gamma_2=\dfrac{34{,}2}{38}=0{,}9$, изображение катета вертикально и равно $H'=0{,}9H$.

Шаг 3 — катет на оси: изображение вершины прямого угла ближе к линзе, чем изображение острого, $D'=36-34{,}2=1{,}8$ см. Длина $D'$ от $H$ не зависит.

Шаг 4 — площадь изображения. Изображение — прямоугольный треугольник с катетами $D'$ и $H'$:

$$S'=\dfrac{1}{2}D'H'=\dfrac{1}{2}\cdot1{,}8\cdot0{,}9H=0{,}81H.$$

Отсюда

$$H=\dfrac{S'}{0{,}81}=\dfrac{2{,}43}{0{,}81}=3\ \text{см}.$$

В общем виде $S'=\dfrac{HDF^2}{2(F+D)^2}$, то есть $H=\dfrac{2S'(F+D)^2}{F^2D}=\dfrac{2\cdot2{,}43\cdot400}{324\cdot2}=3$ см.

Рисунок. От верхней вершины — луч параллельно оси (после линзы через задний фокус) и луч через оптический центр; их пересечение — изображение верхней вершины под осью в $34{,}2$ см от линзы.

Проверим себя. Площадь самого треугольника $\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot3=3$ см² больше $2{,}43$ см² — изображение уменьшенное, как и положено предмету за $2F$; отношение $\dfrac{3}{2{,}43}\approx1{,}23=\left(\dfrac{20}{18}\right)^2$.

Почему модель законна. Линза тонкая, треугольник мал по сравнению с $F$, лучи приосевые: формула тонкой линзы применима и к вершине вне оси, прямые изображаются прямыми.