Отражение и… — Задание ЕГЭ по физике №00048610

Что здесь происходит. Пучок входит в призму по нормали к передней грани и не преломляется, а на второй грани преломляется и выходит под углом к своему первоначальному направлению. Красный пучок после призмы идёт вдоль оси линзы и собирается в её фокусе — значит, экран стоит в фокальной плоскости. Синий свет преломляется сильнее, выходит под чуть другим углом и приходит на линзу наклонным параллельным пучком. Такой пучок линза тоже собирает в точку фокальной плоскости, но не на оси. Найдём, насколько сместится эта точка.

Дано: $\alpha=35^\circ$, $n=1{,}51$, $\Delta n=0{,}015$, $F=40$ см. Найти: $\Delta l$.

Шаг 1 — угол падения на вторую грань. Внутри призмы луч идёт перпендикулярно передней грани, а нормаль ко второй грани повёрнута относительно нормали к первой на преломляющий угол. Поэтому угол падения на вторую грань равен $\alpha=35^\circ$.

Шаг 2 — угол выхода красного света. Закон преломления на второй грани (из стекла в воздух): $\sin\beta_1=n\sin\alpha$:

$$\sin\beta_1=1{,}51\cdot\sin35^\circ=1{,}51\cdot0{,}5736\approx0{,}8661,\qquad\beta_1\approx60{,}01^\circ.$$

Шаг 3 — угол выхода синего света: $n+\Delta n=1{,}525$,

$$\sin\beta_2=1{,}525\cdot0{,}5736\approx0{,}8747,\qquad\beta_2\approx61{,}01^\circ.$$

Шаг 4 — поворот пучка. Направление выходящего пучка отличается от исходного на угол отклонения $\varphi=\beta-\alpha$. Угол $\alpha$ у обоих цветов один, поэтому синий пучок повёрнут относительно красного на

$$\Delta\beta=\beta_2-\beta_1\approx1{,}00^\circ\approx0{,}0175\ \text{рад}.$$

Шаг 5 — смещение точки на экране. Синий пучок параллельный, но наклонён к оси линзы на $\Delta\beta$. Луч этого пучка, идущий через оптический центр, не преломляется — по нему весь пучок соберётся в фокальной плоскости на расстоянии от оси

$$\Delta l=F\,\text{tg}\,\Delta\beta\approx400\ \text{мм}\cdot0{,}0175\approx7{,}0\ \text{мм}.$$

Проверим себя другим способом — через малое приращение. Из $\sin\beta=n\sin\alpha$: $\cos\beta\cdot\Delta\beta\approx\Delta n\sin\alpha$, откуда $\Delta\beta\approx\dfrac{\Delta n\sin\alpha}{\cos\beta_1}=\dfrac{0{,}015\cdot0{,}5736}{0{,}500}\approx0{,}0172$ рад и $\Delta l\approx6{,}9$ мм. Небольшая разница ($6{,}9$ против $7{,}0$ мм) — от того, что при $\beta\approx60^\circ$ косинус заметно меняется на протяжении градуса; оба способа дают $\Delta l\approx7$ мм. Заметим, почему сдвиг такой большой при крошечном $\Delta n$: $n\sin\alpha\approx0{,}87$ близко к единице, косинус угла выхода мал ($0{,}5$), и малое изменение синуса даёт вдвое большее изменение угла.

Почему модель законна. Пучки параллельные, призма и линза неподвижны; линза тонкая, угол наклона синего пучка мал (около градуса), поэтому он собирается в точку той же фокальной плоскости, где стоит экран.