Отражение и… — Задание ЕГЭ по физике №00048331

Что здесь происходит. Палка стоит вертикально, половина её длины над водой, половина — под водой. Солнечные лучи, задетые палкой, не доходят до дна, и там получается тень. Край тени задают два «граничных» луча: один проходит через верхний конец палки, другой — через её нижний конец. Над водой лучи идут под углом $\alpha$ к вертикали, в воде — под меньшим углом $\beta$ (свет преломляется к нормали).

Дано: $l=0{,}6$ м, $h=3$ м, $\alpha=30^\circ$, $n=\dfrac{4}{3}$. Найти: длину надводной части $x$ (подводная часть такой же длины).

Шаг 1 — где нижний конец палки. Если бы палка стояла на дне, её подводная часть была бы равна глубине $3$ м, и одна эта часть дала бы тень не короче $h\,\text{tg}\,\beta\approx3\cdot0{,}40\approx1{,}2$ м — больше заданных $0{,}6$ м. Значит, палка до дна не достаёт: её нижний конец находится на глубине $x$, равной длине надводной части.

Шаг 2 — угол преломления. По закону преломления $\sin\alpha=n\sin\beta$:

$$\sin\beta=\dfrac{\sin30^\circ}{4/3}=\dfrac{0{,}5\cdot3}{4}=0{,}375,\qquad\cos\beta=\sqrt{1-0{,}375^2}\approx0{,}927,\qquad\text{tg}\,\beta=\dfrac{0{,}375}{0{,}927}\approx0{,}405.$$

Шаг 3 — длина тени (рисунок: палка, поверхность воды, дно; два граничных луча с изломом на поверхности, углы $\alpha$ и $\beta$ отмечены от вертикали). Луч, касающийся верхнего конца, проходит над водой высоту $x$ и смещается по горизонтали на $x\,\text{tg}\,\alpha$, а затем в воде до дна — ещё на $h\,\text{tg}\,\beta$. Луч, касающийся нижнего конца, начинает «водный» путь уже на глубине $x$ и до дна смещается на $(h-x)\,\text{tg}\,\beta$. Тень — промежуток между точками их падения на дно:

$$l=x\,\text{tg}\,\alpha+h\,\text{tg}\,\beta-(h-x)\,\text{tg}\,\beta=x\left(\text{tg}\,\alpha+\text{tg}\,\beta\right).$$

Глубина $h$ сократилась: каждая половина палки даёт свой кусок тени — надводная $x\,\text{tg}\,\alpha$, подводная $x\,\text{tg}\,\beta$.

Шаг 4 — считаем:

$$x=\dfrac{l}{\text{tg}\,\alpha+\text{tg}\,\beta}=\dfrac{0{,}6}{0{,}577+0{,}405}=\dfrac{0{,}6}{0{,}982}\approx0{,}61\ \text{м}.$$

Проверим себя. Надводная часть даёт $0{,}61\cdot0{,}577\approx0{,}35$ м тени, подводная $0{,}61\cdot0{,}405\approx0{,}25$ м, в сумме $0{,}6$ м. Нижний конец палки на глубине $0{,}61$ м — далеко от дна ($3$ м), картина непротиворечива. Тень на тангенсах, а не на синусах: горизонтальное смещение луча на высоте $x$ — это катет $x\,\text{tg}\,\alpha$.

Почему модель законна. Солнечные лучи параллельны; поверхность воды спокойная и горизонтальная, нормаль к ней вертикальна; палка тонкая и вертикальная; в однородных воздухе и воде свет идёт прямолинейно.