Отражение и… — Задание ЕГЭ по физике №00048255

Что здесь происходит. Предмет перестаёт быть виден, когда луч зрения от него к глазу почти наверняка упирается в какую-нибудь снежинку. Чем больше снежинок в единице объёма и чем они крупнее, тем короче такое расстояние. Поэтому план такой: по скорости падения и счёту снежинок на фанерке найдём, сколько снежинок в кубометре воздуха (концентрацию $n$), а потом оценим, на каком расстоянии снежинки «закрывают» луч зрения.

Дано: $d=1$ см $=10^{-2}$ м, $h_1=4$ м за $t_1=2$ с, $N=30$ снежинок на $S=0{,}25\ \text{м}^2$ за $t_2=3$ с. Найти: оценку $L$.

Шаг 1 — скорость падения. Снежинки падают равномерно, ветра нет:

$$v=\dfrac{h_1}{t_1}=\dfrac{4}{2}=2\ \text{м/с}.$$

Шаг 2 — концентрация снежинок. За время $t_2$ на фанерку упадут все снежинки, которые в начальный момент находились в вертикальном столбе над ней высотой $vt_2$ (выше — не успеют долететь). Объём этого столба $Svt_2$, и в нём $N$ снежинок:

$$n=\dfrac{N}{Svt_2}=\dfrac{30}{0{,}25\cdot2\cdot3}=\dfrac{30}{1{,}5}=20\ \text{м}^{-3}.$$

Шаг 3 — когда луч зрения закрыт. Представим вдоль луча зрения узкую трубку длиной $L$, сечение которой равно «тени» одной снежинки — площади круга $\sigma=\dfrac{\pi d^2}{4}$. Если в такой трубке в среднем оказывается одна снежинка, луч почти наверняка перекрыт. Объём трубки $\sigma L$, число снежинок в ней $n\sigma L$. Условие видимости на пределе:

$$n\cdot\dfrac{\pi d^2}{4}\cdot L=1\quad\Rightarrow\quad L=\dfrac{4}{\pi d^2n}.$$

Шаг 4 — считаем:

$$L=\dfrac{4}{\pi\cdot(10^{-2})^2\cdot20}=\dfrac{4}{\pi\cdot2\cdot10^{-3}}=\dfrac{2000}{\pi}\approx637\ \text{м}.$$

Это оценка: на деле снежинки частично заслоняют друг друга и видимость не обрывается резко, поэтому разумно говорить «несколько сотен метров, около $600$–$650$ м».

Проверим себя. Размерность: $[n]=\text{м}^{-3}$, $[d^2]=\text{м}^2$, значит, $\dfrac{1}{nd^2}$ — в метрах. Правдоподобие: при $n=20\ \text{м}^{-3}$ среднее расстояние между снежинками около $n^{-1/3}=20^{-1/3}\approx0{,}37$ м, а сами они размером всего $1$ см — каждая заслоняет крошечную долю поля зрения, поэтому видно на сотни метров, а не на десятки сантиметров.

Почему модель законна. Снежинки падают вертикально и равномерно (безветрие, постоянная скорость), распределены по объёму однородно; свет распространяется прямолинейно, и каждая снежинка задерживает лучи в пределах своего сечения $\dfrac{\pi d^2}{4}$; взаимным заслонением снежинок при оценке пренебрегаем.