Отражение и… — Задание ЕГЭ по физике №00048256

Что здесь происходит. В снегопад даль «тонет» потому, что луч света от далёкого предмета по пути к глазу натыкается на снежинки. Нужно понять, сколько снежинок в кубометре воздуха, и оценить, на каком расстоянии луч почти наверняка встретит хотя бы одну.

Дано: $d=1$ см $=10^{-2}$ м, $h_1=6$ м за $t_1=3$ с, $N=50$ снежинок на $S=0{,}5\ \text{м}^2$ за $t_2=3$ с. Найти: оценку $L$.

Шаг 1 — скорость падения. Ветра нет, снежинки падают вертикально с постоянной скоростью, поэтому все они пересекают горизонтальную площадку с одной и той же скоростью:

$$v=\dfrac{h_1}{t_1}=\dfrac{6}{3}=2\ \text{м/с}.$$

Здесь два разных промежутка времени: $t_1$ — для скорости, $t_2$ — для счёта снежинок. Путать их нельзя, хотя численно они здесь совпадают.

Шаг 2 — сколько снежинок в кубометре. За время $t_2$ на фанерку упадут снежинки из столба воздуха над ней высотой $vt_2=2\cdot3=6$ м. Объём столба $Svt_2=0{,}5\cdot6=3\ \text{м}^3$, в нём $N=50$ снежинок:

$$n=\dfrac{N}{Svt_2}=\dfrac{50}{3}\approx16{,}7\ \text{м}^{-3}.$$

Шаг 3 — условие «предмет не виден». Возьмём вдоль луча зрения длинный цилиндр с торцом площадью $S_0$. Каждая снежинка внутри заслоняет на торце кружок площадью $\dfrac{\pi d^2}{4}$. Предмет за цилиндром скрыт, когда суммарная «тень» снежинок сравнивается с площадью торца:

$$nS_0L\cdot\dfrac{\pi d^2}{4}=S_0\quad\Rightarrow\quad L=\dfrac{4}{\pi d^2n}.$$

Площадь торца сократилась — ответ от неё не зависит.

Шаг 4 — считаем. Площадь «тени» одной снежинки $\dfrac{\pi d^2}{4}=\dfrac{\pi\cdot10^{-4}}{4}\ \text{м}^2$ (сантиметры обязательно переводим в метры: $1\ \text{см}^2=10^{-4}\ \text{м}^2$):

$$L=\dfrac{4}{\pi\cdot10^{-4}\cdot\dfrac{50}{3}}=\dfrac{12}{50\pi\cdot10^{-4}}=\dfrac{2400}{\pi}\approx764\ \text{м}.$$

Это оценка порядка величины: видимость в такой снегопад — несколько сотен метров, около $750$–$800$ м.

Проверим себя обратным счётом. В цилиндре длиной $764$ м с сечением одной снежинки $\dfrac{\pi d^2}{4}\approx7{,}85\cdot10^{-5}\ \text{м}^2$ объём $\approx0{,}06\ \text{м}^3$, и снежинок в нём $16{,}7\cdot0{,}06\approx1$ — ровно столько, сколько требовал критерий. И зависимость: если бы снежинки были вдвое крупнее, их «тень» выросла бы вчетверо, а видимость вчетверо упала бы.

Почему модель законна. Снежинки падают вертикально и равномерно (безветрие, постоянная скорость), распределены по объёму однородно; свет распространяется прямолинейно, снежинка задерживает лучи в пределах своего сечения; взаимным заслонением снежинок и рассеянием света при оценке пренебрегаем.