ID: 00026590
Верхняя грань АВ прозрачного клина посеребрена и представляет собой плоское зеркало . Угол при вершине клина α = 30 ° . Луч света падает из воздуха на клин перпендикулярно грани АС , преломляется и выходит в воздух через другую грань под углом \gamma=45^{\circ} к её нормали. Определите показатель преломления материала клина. Сделайте рисунок, поясняющий ход луча в клине.
Источник: ФИПИ
Клин здесь лежит «зеркалом кверху»: посеребрена наклонная грань AB, а свет входит снизу, через горизонтальную грань AC, строго перпендикулярно ей. Внутри клина луч отражается от зеркала, разворачивается и выходит наружу через вертикальную грань BC под углом \gamma=45^{\circ}. Показатель преломления найдём из закона преломления на выходе — надо лишь аккуратно вычислить, под каким углом луч подходит к грани BC изнутри.
Шаг 1 — вход. Луч падает на грань AC по нормали, угол падения 0^{\circ}. По закону преломления угол преломления тоже нулевой: луч входит в клин, не изменив направления, и идёт вертикально вверх.
Шаг 2 — встреча с зеркалом. Грань AB наклонена к AC на угол \alpha=30^{\circ}. Нормаль к AB составляет с вертикалью такой же угол \alpha (углы между прямыми равны углам между их нормалями). Наш луч идёт вертикально, поэтому угол его падения на зеркало равен \alpha=30^{\circ}.
Шаг 3 — отражение. По закону отражения угол отражения равен углу падения, значит направление луча разворачивается на 2\alpha=60^{\circ}. Был он вертикальным — стал идти под 60^{\circ} к вертикали, то есть под 30^{\circ} к горизонтали, вниз и вправо, к грани BC.
Шаг 4 — угол падения на выходную грань. Грань BC вертикальна, значит её нормаль горизонтальна. Луч идёт под 30^{\circ} к горизонтали, поэтому угол его падения на BC, отсчитанный от нормали, равен \gamma_{вн}=30^{\circ}=\alpha.
Шаг 5 — закон преломления на выходе. Свет идёт из среды с показателем n в воздух, угол преломления \gamma=45^{\circ}: n\sin\gamma_{вн}=\sin\gamma\quad\Rightarrow\quad n=\frac{\sin45^{\circ}}{\sin30^{\circ}}=\frac{\sqrt{2}/2}{1/2}=\sqrt{2}\approx1{,}41.
Убедимся, что выйти луч мог именно через BC. Предельный угол полного внутреннего отражения при n=\sqrt{2}: \sin\gamma_{пр}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, то есть \gamma_{пр}=45^{\circ}; наши 30^{\circ} меньше, свет проходит. А вот если бы отражённый луч попал обратно на горизонтальную грань AC, угол падения там был бы 60^{\circ}, и закон преломления дал бы n=\dfrac{\sin45^{\circ}}{\sin60^{\circ}}\approx0{,}82 — меньше единицы, что для стекла невозможно. Значит, «другая грань» — действительно вертикальная BC, и ответ n=\sqrt{2} единственный разумный.
Почему модель именно такая. Задача решается тремя законами геометрической оптики. Закон преломления на входе: при нулевом угле падения луч не преломляется. Закон отражения от плоского зеркала (посеребрённая грань AB): угол отражения равен углу падения, а направление луча при отражении разворачивается на удвоенный угол падения. Закон преломления на выходе из оптически более плотной среды в воздух: n\sin\gamma_{вн}=\sin\gamma. Связующая геометрическая идея — равенство углов между гранями и между их нормалями, что и позволяет пересчитать угол от одной грани к другой.