Отражение и… — Задание ЕГЭ по физике №00026590

Клин здесь лежит «зеркалом кверху»: посеребрена наклонная грань $AB$, а свет входит снизу, через горизонтальную грань $AC$, строго перпендикулярно ей. Внутри клина луч отражается от зеркала, разворачивается и выходит наружу через вертикальную грань $BC$ под углом $\gamma=45^{\circ}$. Показатель преломления найдём из закона преломления на выходе — надо лишь аккуратно вычислить, под каким углом луч подходит к грани $BC$ изнутри.

Шаг 1 — вход. Луч падает на грань $AC$ по нормали, угол падения $0^{\circ}$. По закону преломления угол преломления тоже нулевой: луч входит в клин, не изменив направления, и идёт вертикально вверх.

Шаг 2 — встреча с зеркалом. Грань $AB$ наклонена к $AC$ на угол $\alpha=30^{\circ}$. Нормаль к $AB$ составляет с вертикалью такой же угол $\alpha$ (углы между прямыми равны углам между их нормалями). Наш луч идёт вертикально, поэтому угол его падения на зеркало равен $\alpha=30^{\circ}$.

Шаг 3 — отражение. По закону отражения угол отражения равен углу падения, значит направление луча разворачивается на $2\alpha=60^{\circ}$. Был он вертикальным — стал идти под $60^{\circ}$ к вертикали, то есть под $30^{\circ}$ к горизонтали, вниз и вправо, к грани $BC$.

Шаг 4 — угол падения на выходную грань. Грань $BC$ вертикальна, значит её нормаль горизонтальна. Луч идёт под $30^{\circ}$ к горизонтали, поэтому угол его падения на $BC$, отсчитанный от нормали, равен $$\gamma_{вн}=30^{\circ}=\alpha.$$

Шаг 5 — закон преломления на выходе. Свет идёт из среды с показателем $n$ в воздух, угол преломления $\gamma=45^{\circ}$: $$n\sin\gamma_{вн}=\sin\gamma\quad\Rightarrow\quad n=\frac{\sin45^{\circ}}{\sin30^{\circ}}=\frac{\sqrt{2}/2}{1/2}=\sqrt{2}\approx1{,}41.$$

Убедимся, что выйти луч мог именно через $BC$. Предельный угол полного внутреннего отражения при $n=\sqrt{2}$: $\sin\gamma_{пр}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, то есть $\gamma_{пр}=45^{\circ}$; наши $30^{\circ}$ меньше, свет проходит. А вот если бы отражённый луч попал обратно на горизонтальную грань $AC$, угол падения там был бы $60^{\circ}$, и закон преломления дал бы $n=\dfrac{\sin45^{\circ}}{\sin60^{\circ}}\approx0{,}82$ — меньше единицы, что для стекла невозможно. Значит, «другая грань» — действительно вертикальная $BC$, и ответ $n=\sqrt{2}$ единственный разумный.

Почему модель именно такая. Задача решается тремя законами геометрической оптики. Закон преломления на входе: при нулевом угле падения луч не преломляется. Закон отражения от плоского зеркала (посеребрённая грань $AB$): угол отражения равен углу падения, а направление луча при отражении разворачивается на удвоенный угол падения. Закон преломления на выходе из оптически более плотной среды в воздух: $n\sin\gamma_{вн}=\sin\gamma$. Связующая геометрическая идея — равенство углов между гранями и между их нормалями, что и позволяет пересчитать угол от одной грани к другой.