Отражение и… — Задание ЕГЭ по физике №00048332

Что здесь происходит. Луч падает на верхнюю грань пластины. Часть света сразу отражается — это первое пятно на потолке. Остальной свет входит в стекло, доходит до нижней грани, отражается от неё и возвращается к верхней грани; там часть его выходит наружу (второе пятно), часть снова отражается вниз — и так зигзагом, пока луч не упрётся в зачернённую боковую грань. Каждый выход через верх даёт новое пятно, причём все вышедшие лучи параллельны первому отражённому, поэтому пятна на потолке не сливаются. Задача — выбрать направление так, чтобы зигзаг был как можно длиннее.

Дано: $a=4{,}2$ см, $c=3{,}2$ см, $d=1$ см, $n=1{,}5$, $\alpha=30^\circ$. Найти: $N_{\max}$.

Шаг 1 — угол в стекле. По закону преломления $\sin\alpha=n\sin\beta$:

$$\sin\beta=\dfrac{\sin30^\circ}{1{,}5}=\dfrac{1}{3},\qquad\cos\beta=\sqrt{1-\dfrac{1}{9}}=\dfrac{2\sqrt2}{3},\qquad\text{tg}\,\beta=\dfrac{1}{2\sqrt2}\approx0{,}354.$$

Шаг 2 — шаг зигзага. От верхней грани до нижней и обратно луч проходит толщину дважды и смещается по горизонтали на

$$\Delta=2d\,\text{tg}\,\beta=2\cdot1\cdot0{,}354\approx0{,}707\ \text{см}.$$

Через каждые $\Delta$ луч возвращается к верхней грани и даёт новое пятно.

Шаг 3 — самый длинный путь. Боковые грани поглощают свет, поэтому зигзаг обрывается на краю пластины. Самый длинный отрезок, умещающийся в прямоугольнике $4{,}2\times3{,}2$ см, — диагональ. Луч нужно направить в самый угол пластины так, чтобы его горизонтальная проекция шла вдоль диагонали:

$$L=\sqrt{a^2+c^2}=\sqrt{4{,}2^2+3{,}2^2}=\sqrt{17{,}64+10{,}24}=\sqrt{27{,}88}\approx5{,}28\ \text{см}.$$

Шаг 4 — считаем выходы. Число полных шагов зигзага, умещающихся на диагонали: $\dfrac{5{,}28}{0{,}707}\approx7{,}47$, то есть $7$ выходов через верхнюю грань (седьмой — на расстоянии $7\cdot0{,}707\approx4{,}95$ см от точки входа, восьмой пришёлся бы на $5{,}66$ см — за краем). Вместе с первым отражённым пятном:

$$N=1+7=8.$$

Проверим себя. Если по ошибке взять шаг по углу падения $30^\circ$, а не по углу в стекле, шаг вышел бы $2\cdot\text{tg}\,30^\circ\approx1{,}15$ см и пятен — заметно меньше. Если направить луч вдоль длинной стороны $4{,}2$ см, уместилось бы только $5$ выходов ($4{,}2:0{,}707\approx5{,}9$) — диагональ действительно выгоднее.

Почему модель законна. Луч узкий; пластина плоскопараллельная; на каждой встрече с верхней гранью часть света выходит, часть отражается (интенсивность пятен убывает, но все они видны — лазер мощный); боковые грани полностью поглощают свет; первое пятно — свет, отражённый верхней гранью сразу, его тоже считаем, так как это свет, отражённый от пластины.