Отражение и… — Задание ЕГЭ по физике №00048452

Что здесь происходит. Луч дважды преломляется — входя в призму и выходя из неё — и каждый раз отклоняется к основанию призмы. Внутри призмы он идёт перпендикулярно биссектрисе преломляющего угла, то есть картина симметрична относительно этой биссектрисы: как луч входит, так он и выходит. Найдём угол внутри, затем угол снаружи и сложим отклонения на двух гранях.

Дано: $n=1{,}7$, $\theta=24^\circ$, луч внутри перпендикулярен биссектрисе. Найти: $\varphi$.

Шаг 1 — угол падения изнутри. Биссектриса делит преломляющий угол пополам, каждая грань отклонена от неё на $\dfrac{\theta}{2}=12^\circ$. Луч перпендикулярен биссектрисе, поэтому с гранью он составляет угол $90^\circ-12^\circ=78^\circ$, а с нормалью к грани — угол $r=\dfrac{\theta}{2}=12^\circ$. По симметрии так на обеих гранях.

Шаг 2 — угол в воздухе. По закону преломления на любой из граней $\sin e=n\sin r$:

$$\sin e=1{,}7\cdot\sin12^\circ=1{,}7\cdot0{,}208\approx0{,}353\quad\Rightarrow\quad e\approx20{,}7^\circ.$$

Полного внутреннего отражения нет: $\sin12^\circ\approx0{,}208$ много меньше $\dfrac{1}{n}\approx0{,}59$.

Шаг 3 — отклонение. На каждой грани луч поворачивается на разность углов с нормалью в воздухе и в стекле, $e-r$, и оба поворота — в сторону основания призмы. Всего:

$$\varphi=2(e-r)=2e-\theta=2\cdot20{,}7^\circ-24^\circ\approx17{,}4^\circ.$$

Рисунок: призма с вершиной вверху и пунктирной биссектрисой; луч входит слева снизу вверх, внутри идёт горизонтально (перпендикулярно биссектрисе), выходит справа вниз; нормали к граням пунктиром, углы $r$ и $e$ отмечены от нормалей, $\varphi$ — между продолжением входящего луча и выходящим лучом.

Проверим себя. Для тонкой призмы есть приближённая формула $\varphi\approx(n-1)\theta=0{,}7\cdot24^\circ=16{,}8^\circ$ — близко к нашим $17{,}4^\circ$; точный счёт чуть больше, потому что синус $20{,}7^\circ$ уже заметно отличается от самого угла. Положение «луч внутри перпендикулярен биссектрисе» — это положение наименьшего отклонения: при повороте призмы в любую сторону $\varphi$ только увеличится.

Почему модель законна. Луч лазера узкий и монохроматический (дисперсии нет); грани призмы плоские; среда вокруг — воздух с показателем преломления $1$; отражённые от граней части луча не рассматриваем.