Отражение и… — Задание ЕГЭ по физике №00048432

Что здесь происходит. Солнечные лучи падают на воду под углом $30^\circ$ к вертикали, на поверхности преломляются и дальше идут в воде под меньшим углом. Свая целиком под водой, поэтому лучи, которые задевают её верхушку, уже идут в воде. Тень на дне — это полоса от основания сваи до точки, куда приходит луч, прошедший через верхушку.

Дано: глубина $H=3$ м, высота сваи $h=2{,}5$ м, угол падения $\alpha=30^\circ$, $n=\dfrac43$. Найти: длину тени $L$.

Построение хода лучей. Рисуем поверхность воды, дно и вертикальную сваю от дна до высоты $2{,}5$ м. Проводим несколько параллельных солнечных лучей под углом $30^\circ$ к вертикали (нормали к поверхности). На поверхности каждый луч преломляется и идёт в воде под углом $\beta$ к вертикали. Луч, касающийся верхушки сваи, отмечает на дне конец тени; лучи, идущие за ним, на этот участок дна не попадают — их загораживает свая. Тень — отрезок дна от основания сваи до этой точки.

Шаг 1 — угол преломления. Закон преломления при переходе из воздуха в воду:

$$\sin\alpha=n\sin\beta\quad\Rightarrow\quad\sin\beta=\dfrac{\sin30^\circ}{n}=\dfrac{0{,}5}{4/3}=\dfrac38.$$

Угол в воде меньше $30^\circ$ — луч прижимается к вертикали, так и должно быть при переходе в оптически более плотную среду.

Шаг 2 — тангенс угла. Угол не табличный, поэтому тангенс находим через косинус:

$$\cos\beta=\sqrt{1-\left(\dfrac38\right)^2}=\sqrt{\dfrac{55}{64}}=\dfrac{\sqrt{55}}{8},\qquad\mathrm{tg}\,\beta=\dfrac{3/8}{\sqrt{55}/8}=\dfrac{3}{\sqrt{55}}.$$

Шаг 3 — длина тени. Луч через верхушку сваи спускается в воде на высоту сваи $h$ и смещается по горизонтали на $L$. Свая, тень и этот луч образуют прямоугольный треугольник с катетами $h$ и $L$:

$$L=h\,\mathrm{tg}\,\beta=2{,}5\cdot\dfrac{3}{\sqrt{55}}=\dfrac{7{,}5}{\sqrt{55}}\approx\dfrac{7{,}5}{7{,}42}\approx1{,}0\ \text{м}.$$

Глубина водоёма $3$ м в расчёт не входит: слой воды над верхушкой сваи лишь сдвигает точку, где луч входит в воду, но угол луча в воде от этого не меняется.

Проверим себя. Если бы воды не было, тень была бы $h\,\mathrm{tg}\,30^\circ=2{,}5\cdot0{,}577\approx1{,}44$ м. Вода прижимает лучи к вертикали, поэтому тень должна стать короче — так и вышло: $1{,}0\lt1{,}44$.

Почему модель законна. Солнечные лучи считаем параллельными (Солнце очень далеко), поверхность воды — плоской, свая — тонкой вертикальной, дно — горизонтальным; свет в однородной воде распространяется прямолинейно.