Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00048609

Что здесь происходит. Плёнка стоит там, где получается резкое изображение точки на расстоянии $5$ м. Точка, поднесённая ближе, изображается за плёнкой, и на плёнке вместо точки получается кружок — сечение конуса лучей, прошедших через диафрагму. Ищем самую близкую точку, для которой радиус кружка ещё равен допустимым $r=0{,}01$ мм.

Дано: $d=5$ м, $F=24$ мм, $D=15$ мм, $r=0{,}01$ мм. Найти: $\Delta d$.

Шаг 1 — плёнка. По формуле тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$:

$$f=\dfrac{dF}{d-F}=\dfrac{5000\cdot24}{5000-24}\ \text{мм}=\dfrac{120\,000}{4976}\ \text{мм}\approx24{,}116\ \text{мм}.$$

Расстояние $5$ м примерно в $200$ раз больше фокусного, поэтому плёнка отстоит от фокуса совсем немного: $f-F\approx\dfrac{F^2}{d}\approx0{,}12$ мм.

Шаг 2 — граница резкости (чертёж: объектив, диафрагма $D$, плёнка на расстоянии $f$; крайние лучи от ближней точки через края диафрагмы сходятся в точке $f'$ за плёнкой). Конус лучей у объектива имеет радиус $\dfrac{D}{2}$, вершина — на расстоянии $f'$, плёнка — на $f'-f$ раньше вершины. По подобию треугольников радиус пятна $\rho=\dfrac{D}{2}\cdot\dfrac{f'-f}{f'}$. Самая близкая чёткая точка — та, у которой $\rho$ ровно равно $r$:

$$\dfrac{f}{f'}=1-\dfrac{2r}{D}=1-\dfrac{2\cdot0{,}01}{15}=1-\dfrac{1}{750}.$$

Обозначим $k=\dfrac{2r}{D}=\dfrac{1}{750}$. Заметим: расстояние до предмета в это отношение не входит — его задают только пятно и диафрагма.

Шаг 3 — положение ближней точки. Из формулы линзы $\dfrac{1}{d'}=\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{f'}$, где $\dfrac{1}{f'}=\dfrac{1-k}{f}=(1-k)\left(\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{d}\right)$:

$$\dfrac{1}{d'}=\dfrac{1}{d}+k\left(\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{d}\right)=\dfrac{F+k(d-F)}{Fd}.$$

Считаем: $k(d-F)=\dfrac{4{,}976}{750}\approx0{,}006635$ м,

$$d'=\dfrac{Fd}{F+k(d-F)}=\dfrac{0{,}024\cdot5}{0{,}024+0{,}006635}=\dfrac{0{,}12}{0{,}030635}\approx3{,}917\ \text{м}.$$

Шаг 4 — $\Delta d=d-d'\approx5-3{,}917\approx1{,}08$ м. В общем виде $\Delta d=\dfrac{2rd(d-F)}{FD+2r(d-F)}$.

Проверим себя. Изображение ближней точки уходит за плёнку на $f'-f=f\left(\dfrac{1}{1-k}-1\right)\approx\dfrac{24{,}1}{749}\approx0{,}032$ мм; тогда радиус пятна $\dfrac{D}{2}\cdot\dfrac{0{,}032}{24{,}15}\approx7{,}5\cdot0{,}00133\approx0{,}01$ мм — ровно допустимый.

Почему модель законна. Объектив — тонкая линза, точки на оси, диафрагма у линзы ограничивает пучок; край пятна задают лучи через края диафрагмы, размытие считаем геометрически, без дифракции.