Электростатика… — Задание ЕГЭ по физике №00048590

Что тут происходит. Верхняя бусинка надета на гладкую спицу и покоится. Её тянет вниз вдоль спицы часть силы тяжести, а вверх вдоль спицы толкает электрическое отталкивание нижней бусинки. Бусинки маленькие по сравнению с расстоянием $0{,}6$ м — это точечные заряды, для них работает закон Кулона. Масса неизвестна, но она входит только в силу тяжести — её и найдём из равновесия.

Рисунок сил для верхней бусинки: $m\vec g$ — вертикально вниз; реакция спицы $\vec N$ — перпендикулярно спице (трения нет); кулоновская сила $\vec F_{\text{к}}$ — вдоль спицы вверх: обе бусинки на одной прямой спице, и сила взаимодействия точечных зарядов направлена вдоль соединяющей их прямой.

Дано: $\alpha=30^\circ$, $q=1\ \text{мкКл}=10^{-6}$ Кл, $l=0{,}6$ м, $k=9\cdot10^{9}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2$, $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти: $m$.

Шаг 1 — сила отталкивания. Заряды одинаковы, поэтому в законе Кулона стоит их произведение $q\cdot q=q^2$:

$$F_{\text{к}}=\dfrac{kq^2}{l^2}=\dfrac{9\cdot10^{9}\cdot10^{-12}}{0{,}6^2}=\dfrac{9\cdot10^{-3}}{0{,}36}=0{,}025\ \text{Н}.$$

Шаг 2 — равновесие вдоль спицы. Реакция $\vec N$ перпендикулярна спице и в эту проекцию не входит; вдоль спицы тяжесть даёт $mg\sin\alpha$:

$$F_{\text{к}}=mg\sin\alpha\quad\Rightarrow\quad m=\dfrac{F_{\text{к}}}{g\sin\alpha}=\dfrac{kq^2}{gl^2\sin\alpha}.$$

Шаг 3 — числа:

$$m=\dfrac{0{,}025}{10\cdot0{,}5}=5\cdot10^{-3}\ \text{кг}=5\ \text{г}.$$

Проверим себя. Вдоль спицы: $mg\sin\alpha=5\cdot10^{-3}\cdot10\cdot0{,}5=0{,}025$ Н — столько же, сколько сила Кулона. Поперёк спицы реакция уравновешивает вторую составляющую тяжести: $N=mg\cos\alpha\approx0{,}043$ Н — она в ответ не нужна, но на рисунке должна быть. Нижняя бусинка закреплена, поэтому силы, действующие на неё, разбирать не требуется.