Электростатика… — Задание ЕГЭ по физике №00048558

Что тут происходит. Верхняя бусинка может скользить по спице без трения, но не съезжает вниз: её удерживает электрическое отталкивание от нижней бусинки. Бусинки маленькие — считаем их точечными зарядами и применяем закон Кулона. Обе бусинки сидят на одной прямой спице, поэтому сила отталкивания направлена вдоль спицы вверх.

Рисунок сил для верхней бусинки: сила тяжести $m\vec g$ — вертикально вниз; сила реакции спицы $\vec N$ — перпендикулярно спице (трения нет, поэтому вдоль спицы спица на бусинку не действует); кулоновская сила $\vec F_{\text{к}}$ — вдоль спицы вверх, от нижней бусинки.

Дано: $\alpha=30^\circ$, $q=1\ \text{мкКл}=10^{-6}$ Кл, $m=20\ \text{г}=2\cdot10^{-2}$ кг, $k=9\cdot10^{9}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2$, $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти: $l$.

Шаг 1 — равновесие вдоль спицы. Направим ось вдоль спицы вверх. Реакция $\vec N$ перпендикулярна этой оси и в проекцию не входит. Спица наклонена к горизонту под углом $\alpha$, поэтому вдоль неё действует составляющая силы тяжести $mg\sin\alpha$ (вниз по спице). Бусинка покоится, значит

$$F_{\text{к}}-mg\sin\alpha=0.$$

Шаг 2 — закон Кулона для двух одинаковых зарядов на расстоянии $l$: $F_{\text{к}}=\dfrac{kq^2}{l^2}$. Подставляем в условие равновесия:

$$\dfrac{kq^2}{l^2}=mg\sin\alpha\quad\Rightarrow\quad l=q\sqrt{\dfrac{k}{mg\sin\alpha}}.$$

Шаг 3 — числа. Скатывающая составляющая тяжести $mg\sin\alpha=2\cdot10^{-2}\cdot10\cdot0{,}5=0{,}1$ Н, а $kq^2=9\cdot10^{9}\cdot10^{-12}=9\cdot10^{-3}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2$. Тогда

$$l^2=\dfrac{9\cdot10^{-3}}{0{,}1}=0{,}09\ \text{м}^2,\qquad l=0{,}3\ \text{м}.$$

Проверим себя. При $l=0{,}3$ м сила Кулона $\dfrac{9\cdot10^{-3}}{0{,}09}=0{,}1$ Н — ровно скатывающая составляющая тяжести. И крайний случай: на горизонтальной спице ($\alpha=0$) тяжесть не тянула бы бусинку вдоль спицы, отталкивание ничем не уравновешивалось бы, и равновесия на конечном расстоянии не было бы; формула это показывает — при $\sin\alpha\to0$ расстояние $l$ неограниченно растёт.