Электростатика… — Задание ЕГЭ по физике №00048572

Что тут происходит. Точка удалена от обоих зарядов на одинаковые $50$ см, значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку между зарядами: заряды и точка образуют равнобедренный треугольник со сторонами $50$, $50$ и $80$ см. По принципу суперпозиции поле в точке — векторная сумма полей двух зарядов. Модули зарядов одинаковы, расстояния одинаковы, поэтому и модули полей одинаковы; всё решают направления.

Дано: $|q|=2{,}5\ \text{нКл}=2{,}5\cdot10^{-9}$ Кл, $a=80\ \text{см}=0{,}8$ м, $r=50\ \text{см}=0{,}5$ м, $k=9\cdot10^{9}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2$. Найти: $E$.

Шаг 1 — поле каждого заряда в точке:

$$E_1=E_2=\dfrac{k|q|}{r^2}=\dfrac{9\cdot10^{9}\cdot2{,}5\cdot10^{-9}}{0{,}5^2}=\dfrac{22{,}5}{0{,}25}=90\ \text{В/м}.$$

Шаг 2 — направления. Поле положительного заряда $q_2$ направлено от него, поле отрицательного $q_1$ — к нему. Разложим каждый вектор на составляющие: вдоль отрезка между зарядами и перпендикулярно ему. Перпендикулярные составляющие равны по модулю и противоположны — в сумме дают ноль. Составляющие вдоль отрезка обе направлены от $q_2$ к $q_1$ и складываются.

Шаг 3 — проекция. Угол $\beta$ при основании треугольника: $\cos\beta=\dfrac{a/2}{r}=\dfrac{0{,}4}{0{,}5}=0{,}8$. Каждый вектор даёт вдоль отрезка $E_1\cos\beta=90\cdot0{,}8=72$ В/м, поэтому

$$E=2E_1\cos\beta=2\cdot72=144\ \text{В/м}.$$

В общем виде $E=2\cdot\dfrac{k|q|}{r^2}\cdot\dfrac{a}{2r}=\dfrac{k|q|a}{r^3}$. Вектор $\vec E$ параллелен прямой, соединяющей заряды, и направлен от положительного заряда $q_2$ к отрицательному $q_1$.

Проверим себя подобием. Треугольник из векторов $\vec E_1$, $\vec E_2$ и их суммы подобен треугольнику «заряд — точка — заряд» со сторонами $r$, $r$, $a$, поэтому $\dfrac{E}{E_1}=\dfrac{a}{r}=\dfrac{0{,}8}{0{,}5}=1{,}6$ и $E=90\cdot1{,}6=144$ В/м — совпадает. Простое сложение модулей дало бы $180$ В/м — это больше, потому что векторы направлены под углом.