Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00048586

Что здесь происходит. По рисунку вершина острого угла лежит на оси в точке $2F$, катет $D$ идёт по оси от неё прочь от линзы, а у дальнего конца стоит вертикальный катет $H$. Тонкая линза переводит отрезки в отрезки, поэтому изображение — треугольник с вершинами в изображениях трёх вершин.

Дано: $D=4$ см, $H=5$ см, $F=20$ см. Найти: $S'$.

Шаг 1 — вершина острого угла: $d_1=2F=40$ см, по формуле тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$ получаем $f_1=\dfrac{40\cdot20}{40-20}=40$ см.

Шаг 2 — вертикальный катет. Все его точки стоят на расстоянии $d_2=2F+D=44$ см, поэтому изображение — тоже вертикальный отрезок, на расстоянии

$$f_2=\dfrac{44\cdot20}{44-20}=\dfrac{880}{24}\approx36{,}67\ \text{см},\qquad\Gamma_2=\dfrac{f_2}{d_2}=\dfrac{20}{24}=\dfrac{5}{6}.$$

Его длина $H'=\dfrac{5}{6}\cdot5=\dfrac{25}{6}\approx4{,}17$ см. Предмет дальше $2F$, и изображение вершины прямого угла, как и положено, попало между $F$ и $2F$.

Шаг 3 — катет на оси: $D'=f_1-f_2=40-\dfrac{110}{3}=\dfrac{10}{3}\approx3{,}33$ см.

Шаг 4 — площадь изображения. Изображение вертикального катета перпендикулярно оси, катет $D'$ лежит на оси, значит изображение — прямоугольный треугольник:

$$S'=\dfrac{1}{2}D'H'=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{10}{3}\cdot\dfrac{25}{6}=\dfrac{250}{36}=\dfrac{125}{18}\approx6{,}9\ \text{см}^2.$$

В общем виде $H'=\dfrac{HF}{F+D}$, $D'=\dfrac{DF}{F+D}$ и $S'=\dfrac{HDF^2}{2(F+D)^2}$.

Рисунок. От верхней вершины — луч параллельно оси (после линзы через задний фокус) и луч через оптический центр; их пересечение под осью на $36{,}7$ см от линзы — изображение верхней вершины. Вершины на оси изображаются на оси.

Проверим себя. Продольный размер короткого отрезка на оси линза меняет в $\Gamma_1\Gamma_2$ раз, где $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ — поперечные увеличения на его концах: $1\cdot\dfrac{5}{6}\cdot4=\dfrac{10}{3}$ см — совпало с шагом 3. Отношение катетов изображения $\dfrac{25/6}{10/3}=\dfrac{5}{4}$ равно $\dfrac{H}{D}$: изображение подобно предмету, и $S'=S\left(\dfrac{5}{6}\right)^2=10\cdot\dfrac{25}{36}\approx6{,}9$ см².

Почему модель законна. Линза тонкая, размеры треугольника малы по сравнению с $F$, лучи приосевые — формула тонкой линзы работает и для внеосевых точек, а прямые изображаются прямыми.