Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00048585

Что здесь происходит. По рисунку катет $D$ лежит на главной оптической оси, вершина острого угла стоит ровно в точке $2F$, а вершина прямого угла — дальше от линзы на $D$; там же поднимается вертикальный катет $H$. Тонкая линза переводит прямые в прямые, поэтому изображение треугольника — снова треугольник, и достаточно найти изображения трёх вершин.

Дано: $D=2$ см, $H=6$ см, $F=18$ см. Найти: $\dfrac{S}{S'}$.

Шаг 1 — вершина острого угла. Она на расстоянии $d_1=2F=36$ см. По формуле тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$: $f_1=\dfrac{36\cdot18}{36-18}=36$ см — изображение тоже в $2F$, на оси.

Шаг 2 — вершина прямого угла и катет $H$. Все точки вертикального катета стоят на одном расстоянии $d_2=2F+D=38$ см, поэтому его изображение — тоже вертикальный отрезок:

$$f_2=\dfrac{38\cdot18}{38-18}=\dfrac{684}{20}=34{,}2\ \text{см},\qquad\Gamma_2=\dfrac{f_2}{d_2}=\dfrac{34{,}2}{38}=0{,}9.$$

Изображение катета: $H'=0{,}9\cdot6=5{,}4$ см, оно перевёрнуто — уходит под ось.

Шаг 3 — катет на оси. Изображения обеих осевых вершин лежат на оси, на $36$ и $34{,}2$ см от линзы. Изображение прямого угла теперь ближе к линзе, чем изображение острого, а длина катета-изображения $D'=36-34{,}2=1{,}8$ см.

Шаг 4 — площади. Изображение — прямоугольный треугольник с катетами $1{,}8$ и $5{,}4$ см:

$$S'=\dfrac{1}{2}\cdot1{,}8\cdot5{,}4=4{,}86\ \text{см}^2,\qquad S=\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot6=6\ \text{см}^2,\qquad\dfrac{S}{S'}=\dfrac{6}{4{,}86}\approx1{,}23.$$

В общем виде оба катета уменьшились в одно и то же число раз $\dfrac{F}{F+D}$: $H'=\dfrac{HF}{F+D}$, $D'=2F-\dfrac{(2F+D)F}{F+D}=\dfrac{DF}{F+D}$. Поэтому $\dfrac{S}{S'}=\left(\dfrac{F+D}{F}\right)^2=\left(\dfrac{20}{18}\right)^2\approx1{,}23$, и высота $H$ на отношение не влияет.

Рисунок. Ось, линза, точки $F$ и $2F$ по обе стороны. От верхней вершины треугольника проведи луч параллельно оси — после линзы он идёт через задний фокус — и луч через оптический центр, который не преломляется; их пересечение даёт изображение верхней вершины на высоте $5{,}4$ см под осью в $34{,}2$ см от линзы. Вершина в $2F$ изображается в $2F$ по другую сторону. Соединив три точки, получаем перевёрнутый уменьшенный треугольник.

Проверим себя. Предмет стоит дальше $2F$, значит изображение действительное, перевёрнутое и уменьшенное — отношение площадей больше единицы, как и вышло. Отношение катетов изображения $\dfrac{5{,}4}{1{,}8}=3$ такое же, как у предмета $\dfrac{6}{2}=3$: треугольник уменьшился подобно.

Почему модель законна. Линза тонкая, размеры треугольника малы по сравнению с фокусным расстоянием, лучи приосевые — работает формула тонкой линзы, и отрезки изображаются отрезками.