Механика (нет в… — Задание ЕГЭ по физике №00048583

Что тут происходит. Болид стартует с места на полной мощности. На первом этапе колёса проскальзывают по асфальту, на втором катятся без проскальзывания, и разгон всё сильнее тормозит воздух. Нужно разобрать оба этапа, оценить предельную скорость и построить график $v(t)$.

Шаг 1 — что ограничивает разгон на старте. Если бы тягу задавала только мощность, то по формуле $F=\dfrac{\eta P}{v}$ при $v\to0$ сила тяги была бы бесконечной. На деле вперёд болид толкает дорога через шины, и эта сила не может превысить предельную силу трения $\mu N$. Двигатель раскручивает колёса быстрее, чем едет машина, — колёса пробуксовывают, лишняя мощность уходит в нагрев резины и асфальта. Сила трения скольжения почти постоянна, сопротивление воздуха на малой скорости мало, поэтому по второму закону Ньютона ускорение почти постоянно, а скорость растёт почти линейно.

Шаг 2 — второй этап. Когда скорость выросла настолько, что $\dfrac{\eta P}{v}$ стало меньше предельной силы трения, пробуксовка прекращается. Здесь $\eta P$ — мощность, доходящая до колёс: десятая часть мощности двигателя теряется в трансмиссии (нагрев шестерён, подшипников) и в разгон не идёт. Дальше сила тяги $F=\dfrac{\eta P}{v}$ убывает, а сила сопротивления воздуха $F_{\text{в}}=\rho Sv^2$ растёт: при удвоении скорости — вчетверо. Ускорение

$$a=\dfrac1m\left(\dfrac{\eta P}{v}-\rho Sv^2\right)$$

всё время уменьшается. В момент окончания пробуксовки сила тяги не меняется скачком (предельное трение как раз сравнялось с $\dfrac{\eta P}{v}$), поэтому излома на графике нет — наклон меняется плавно.

Шаг 3 — максимальная скорость. Когда ускорение обращается в ноль, болид больше не разгоняется, и вся мощность, доходящая до колёс, уходит на преодоление сопротивления воздуха. Мощность силы сопротивления $F_{\text{в}}v=\rho Sv^3$. Трение качения о дорогу почти не зависит от скорости и на больших скоростях мало по сравнению с сопротивлением воздуха, поэтому для оценки его отбрасываем:

$$\eta P=\rho Sv_{\max}^3\quad\Rightarrow\quad v_{\max}=\sqrt[3]{\dfrac{\eta P}{\rho S}}.$$

Шаг 4 — числа. $P=1000\cdot736=736\,000$ Вт, $\eta P=0{,}9\cdot736\,000=662\,400$ Вт, $\rho S=1{,}27\cdot0{,}5=0{,}635\ \text{кг/м}$:

$$v_{\max}=\sqrt[3]{\dfrac{662\,400}{0{,}635}}\approx\sqrt[3]{1\,043\,000}\approx101\ \text{м/с}\approx365\ \text{км/ч}.$$

Шаг 5 — график. Из начала координат — почти прямолинейный участок (пробуксовка), затем плавно, без излома, — кривая, выпуклая вверх, с уменьшающимся наклоном. Она приближается снизу к горизонтали $v=v_{\max}\approx101$ м/с, но не достигает её за конечное время: чем ближе скорость к предельной, тем меньше ускорение.

Проверим себя. Мощность сопротивления растёт как $v^3$, поэтому $v_{\max}\propto\sqrt[3]{P}$: вдвое более мощный двигатель дал бы прибавку скорости лишь в $\sqrt[3]2\approx1{,}26$ раза — почти вся добавочная мощность уходит на воздух. А $101^3\approx1{,}03\cdot10^6$ — сходится с подкоренным числом.