Механика (нет в… — Задание ЕГЭ по физике №00048560

Что тут происходит. Шарики стартуют с одинаковыми скоростями $v_0$ под углом $\alpha=30^\circ$ к горизонту: первый летит свободно, второй едет вверх по гладкому склону с тем же углом. Сравниваем, на сколько каждый сместится по горизонтали, пока поднимается до своей наибольшей высоты.

Модель. Шарики — материальные точки, сопротивления и трения нет, плоскость достаточно длинная. Горизонтальное смещение зависит от двух вещей: сколько длится подъём и с какой горизонтальной скоростью шарик в это время движется.

Шаг 1 — свободный шарик. На него действует только сила тяжести, поэтому по второму закону Ньютона его ускорение равно $\vec g$: по горизонтали движение равномерное со скоростью $v_0\cos\alpha$, по вертикали — равнозамедленное с ускорением $g$. Подъём заканчивается, когда вертикальная составляющая скорости $v_0\sin\alpha$ обращается в ноль:

$$t_1=\dfrac{v_0\sin\alpha}{g}=\dfrac{v_0}{2g},\qquad x_1=v_0\cos\alpha\cdot t_1=\dfrac{v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}.$$

Шаг 2 — шарик на склоне. Сила реакции гладкой плоскости перпендикулярна склону, вдоль склона действует только составляющая силы тяжести $mg\sin\alpha$. По второму закону Ньютона шарик движется вдоль склона прямолинейно и равнозамедленно с ускорением

$$a=g\sin\alpha=\dfrac g2.$$

Наивысшая точка — там, где шарик останавливается. Путь вдоль склона до остановки

$$L=\dfrac{v_0^2}{2a}=\dfrac{v_0^2}{2g\sin\alpha}=\dfrac{v_0^2}{g}.$$

Спрашивают смещение по горизонтали — это проекция пути на горизонталь:

$$x_2=L\cos\alpha=\dfrac{v_0^2\cos\alpha}{2g\sin\alpha}.$$

Шаг 3 — сравнение. Делим одно на другое:

$$\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{1}{2\sin^2\alpha}=\dfrac{1}{2\cdot\frac14}=2.$$

Второй шарик сместится по горизонтали вдвое дальше.

Проверим себя другим способом. Время подъёма по склону $t_2=\dfrac{v_0}{a}=\dfrac{2v_0}{g}$ — в $4$ раза больше, чем $t_1$. Горизонтальная составляющая скорости второго шарика за это время равномерно убывает от $v_0\cos\alpha$ до нуля, то есть в среднем она вдвое меньше, чем у свободного шарика. Время в $4$ раза больше, средняя горизонтальная скорость в $2$ раза меньше — смещение в $2$ раза больше. Сходится. Заметь: ответ зависит от угла — при $\alpha=45^\circ$ отношение $\dfrac{1}{2\sin^2\alpha}$ равно $1$, а при более крутом старте дальше ушёл бы свободный шарик. Поэтому угол $30^\circ$ здесь важен.