Механика (нет в… — Задание ЕГЭ по физике №00048582

Что тут происходит. Болид разгоняется с места на полной мощности. Сначала колёса крутятся быстрее, чем едет машина, — пробуксовывают. Потом сцепление восстанавливается, и разгон ограничивают уже мощность двигателя и сопротивление воздуха. Нужно описать оба этапа, оценить предельную скорость и нарисовать график $v(t)$.

Шаг 1 — этап пробуксовки. Вперёд машину толкает дорога: на ведущие колёса действует сила трения скольжения, направленная вперёд, и её модуль $\mu N$ почти не зависит от скорости. Двигатель при этом может отдать больше, но лишняя мощность уходит не в разгон, а в нагрев «горящей» резины и асфальта. Пока скорость мала, сопротивление воздуха ничтожно, поэтому по второму закону Ньютона ускорение почти постоянно, а скорость растёт почти линейно — первый участок графика близок к отрезку прямой.

Шаг 2 — почему пробуксовка кончается. Мощность силы тяги связана со скоростью: $P_{\text{т}}=Fv$. Если до колёс доходит мощность $\eta P$, двигатель может создать силу тяги не больше $F=\dfrac{\eta P}{v}$. На малой скорости это огромная сила — больше, чем может передать сцепление шин с дорогой, поэтому колёса и проскальзывают. С ростом скорости $\dfrac{\eta P}{v}$ уменьшается и в некоторый момент становится меньше предельной силы трения — колёса перестают проскальзывать.

Шаг 3 — второй этап. Теперь сила тяги $F=\dfrac{\eta P}{v}$ убывает с ростом скорости, а сила сопротивления воздуха $F_{\text{в}}=\rho Sv^2$ растёт. По второму закону Ньютона

$$ma=\dfrac{\eta P}{v}-\rho Sv^2-F_{\text{кач}},$$

где $F_{\text{кач}}$ — небольшая сила трения качения о дорогу. Ускорение всё время уменьшается, поэтому график $v(t)$ становится всё положе. В момент окончания пробуксовки сила тяги меняется непрерывно (предельная сила трения как раз сравнялась с $\dfrac{\eta P}{v}$), поэтому излома на графике нет.

Шаг 4 — максимальная скорость. Скорость перестаёт расти, когда ускорение обращается в ноль, то есть сила тяги уравновешивает сопротивление. Трение качения почти не зависит от скорости, а сопротивление воздуха растёт как $v^2$, поэтому на больших скоростях главное — воздух, и для оценки трением качения пренебрегаем:

$$\dfrac{\eta P}{v_{\max}}=\rho Sv_{\max}^2\quad\Rightarrow\quad v_{\max}=\sqrt[3]{\dfrac{\eta P}{\rho S}}.$$

Шаг 5 — числа. Мощность в ваттах: $P=1200\cdot736=883\,200$ Вт, до колёс доходит $\eta P=0{,}8\cdot883\,200=706\,560$ Вт. Знаменатель: $\rho S=1{,}27\cdot0{,}9\approx1{,}143\ \text{кг/м}$. Тогда

$$v_{\max}=\sqrt[3]{\dfrac{706\,560}{1{,}143}}\approx\sqrt[3]{618\,000}\approx85\ \text{м/с}\approx307\ \text{км/ч}.$$

Шаг 6 — график. Из начала координат идёт почти прямолинейный участок (пробуксовка), затем без излома — кривая, выпуклая вверх, наклон которой всё время уменьшается. Она приближается снизу к горизонтальной прямой $v=v_{\max}\approx85$ м/с, но не пересекает её: чем ближе скорость к предельной, тем меньше разность сил и тем медленнее разгон.

Проверим себя. Единицы: $\dfrac{\text{Вт}}{\text{кг/м}}=\dfrac{\text{кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}^3}{\text{кг/м}}=\text{м}^3/\text{с}^3$, кубический корень даёт м/с. Порядок величины разумный: около $300$ км/ч — типичная скорость гоночного болида. И вдвое большая мощность дала бы скорость больше лишь в $\sqrt[3]2\approx1{,}26$ раза, потому что мощность сопротивления воздуха растёт как $v^3$.