Механика (нет в… — Задание ЕГЭ по физике №00048580

Что тут происходит. Шайба лежит на диске на расстоянии $R=0{,}8$ м от оси. Пока она не проскальзывает, она вместе с диском движется по окружности радиусом $R$. Нужно понять, хватит ли силы трения, чтобы удержать шайбу на этой окружности при $\omega=2$ рад/с и при $\omega=2{,}5$ рад/с.

Рисунок сил. Рассуждаем в системе отсчёта, связанной с Землёй, — она инерциальная. На шайбу действуют три силы: сила тяжести $m\vec g$ — вертикально вниз, сила нормальной реакции диска $\vec N$ — вертикально вверх и сила трения покоя $\vec F_{\text{тр}}$ — горизонтально, к оси вращения. «Центробежную силу» не рисуем: в инерциальной системе отсчёта её нет — нет тела, которое бы её создавало.

Шаг 1 — почему трение направлено к оси. Диск вращается равномерно, шайба движется по окружности с постоянной по модулю скоростью $v=\omega R$. Значит, её ускорение центростремительное: оно направлено к оси и равно

$$a=\omega^2R.$$

По второму закону Ньютона $m\vec a=m\vec g+\vec N+\vec F_{\text{тр}}$. Сила тяжести и реакция вертикальны, а ускорение горизонтально — создать его может только сила трения покоя. Поэтому трение направлено к оси (а вовсе не против скорости) и равно

$$F_{\text{тр}}=m\omega^2R.$$

Шаг 2 — сколько трения «есть в запасе». По вертикали ускорения нет, значит $N=mg$. Сила трения покоя подстраивается под нужную величину, но не может превысить наибольшего значения. Слова «эффектом застоя можно пренебречь» означают, что это наибольшее значение равно силе трения скольжения:

$$F_{\text{тр}}\le\mu N=\mu mg.$$

Шаг 3 — условие, при котором шайба не скользит. Подставим нужную силу трения в это неравенство и сократим массу:

$$m\omega^2R\le\mu mg\quad\Rightarrow\quad\omega^2R\le\mu g.$$

Масса шайбы в ответ не входит — поэтому в условии её и нет. На рисунках сил для двух опытов стрелки $m\vec g$ и $\vec N$ одинаковы, а стрелка нужной силы трения во втором опыте длиннее: $m\omega^2R$ растёт с угловой скоростью. Правая часть одна для обоих опытов: $\mu g=0{,}4\cdot10=4\ \text{м/с}^2$ — это наибольшее центростремительное ускорение, которое трение может сообщить шайбе.

Шаг 4 — первый опыт: $\omega^2R=2^2\cdot0{,}8=3{,}2\ \text{м/с}^2$. Это меньше $4\ \text{м/с}^2$ — трения хватает, шайба вращается вместе с диском и не скользит.

Шаг 5 — второй опыт: $\omega^2R=2{,}5^2\cdot0{,}8=6{,}25\cdot0{,}8=5\ \text{м/с}^2$. Это больше $4\ \text{м/с}^2$ — даже наибольшая сила трения покоя не может удержать шайбу на окружности, и она начнёт скользить по диску, удаляясь от оси.

Проверим себя. Найдём угловую скорость, при которой трение работает на пределе: $\omega_{\max}=\sqrt{\dfrac{\mu g}{R}}=\sqrt{\dfrac{4}{0{,}8}}=\sqrt5\approx2{,}24$ рад/с. Первый опыт ($2$ рад/с) ниже этой границы, второй ($2{,}5$ рад/с) — выше, вывод тот же. И здравый смысл: нужная сила $m\omega^2R$ растёт с удалением от оси, поэтому у края диска шайбе удержаться труднее, чем у оси; а на совсем гладком диске ($\mu=0$) шайбу не удержало бы на окружности ничто — ни при какой угловой скорости.