Механика (нет в… — Задание ЕГЭ по физике №00048493

Посмотрим на рисунок. Шайба стартовала слева с высоты $R/2$ без начальной скорости. Поверхность гладкая, трения нет, поэтому шайба скатилась на дно, поднялась по правому склону до той же высоты $R/2$, остановилась и поехала обратно. Сейчас она на правом склоне на высоте $R/5$ и движется влево-вниз, к нижней точке. Нужно показать силы и направление ускорения.

Шаг 1 — силы. Сопротивления воздуха нет, поверхность гладкая, поэтому сил всего две: сила тяжести $m\vec g$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции $\vec N$, перпендикулярная поверхности. У сферы перпендикуляр к поверхности — это радиус, поэтому $\vec N$ направлена по радиусу к центру сферы. Отдельной «центростремительной силы» на рисунке нет: ускорение к центру создают эти две силы вместе.

Шаг 2 — как раскладывать ускорение. Шайба движется по дуге окружности радиусом $R$. Ускорение такого движения удобно разложить на две части: центростремительную $a_n=\dfrac{\upsilon^2}{R}$ (по радиусу к центру) и касательную $a_\tau$ (вдоль дуги — она меняет модуль скорости).

Шаг 3 — центростремительная часть. Скорость шайбы найдём по закону сохранения механической энергии: трения нет, а сила реакции перпендикулярна скорости и работы не совершает. Шайба опустилась с высоты $R/2$ на высоту $R/5$:

$$\dfrac{m\upsilon^2}{2}=mg\left(\dfrac{R}{2}-\dfrac{R}{5}\right)=mg\cdot\dfrac{3R}{10},\qquad \upsilon^2=\dfrac{3}{5}gR$$

Скорость не равна нулю, значит, центростремительное ускорение есть:

$$a_n=\dfrac{\upsilon^2}{R}=\dfrac{3}{5}g=0{,}6g$$

Шаг 4 — касательная часть. Обозначим через $\beta$ угол между радиусом, проведённым от центра сферы к шайбе, и вертикалью. Центр сферы находится на высоте $R$ над нижней точкой, шайба — на высоте $R/5$, поэтому по вертикали шайба ниже центра на $R-\dfrac{R}{5}=\dfrac{4R}{5}$:

$$\cos\beta=\dfrac{4R/5}{R}=0{,}8,\qquad \sin\beta=\sqrt{1-0{,}8^2}=0{,}6$$

Сила реакции перпендикулярна касательной и вдоль неё ничего не даёт. Вдоль касательной действует только составляющая силы тяжести $mg\sin\beta$, и по второму закону Ньютона

$$a_\tau=g\sin\beta=0{,}6g$$

Эта составляющая направлена вниз по склону, к нижней точке. Шайба едет туда же — влево-вниз, поэтому касательное ускорение совпадает по направлению со скоростью: шайба разгоняется.

Шаг 5 — полное ускорение. Складываем две взаимно перпендикулярные части: к центру сферы и по касательной в сторону нижней точки. Обе не равны нулю, поэтому ускорение не направлено ни по радиусу, ни по касательной, а смотрит внутрь поверхности — между радиусом и касательной. Здесь обе части равны $0{,}6g$, поэтому ускорение составляет с радиусом угол $45^\circ$, а его модуль $a=\sqrt{a_n^2+a_\tau^2}=0{,}6\sqrt2\,g\approx0{,}85g$.

Проверим себя через силы. По второму закону Ньютона вдоль радиуса $N-mg\cos\beta=ma_n$, откуда $N=m(0{,}8g+0{,}6g)=1{,}4mg$. Сложим $m\vec g$ и $\vec N$: вдоль радиуса остаётся $1{,}4mg-0{,}8mg=0{,}6mg$ к центру, вдоль касательной — $mg\sin\beta=0{,}6mg$ вниз по склону. Получается то же ускорение. Заметим ещё: вектор ускорения в этой точке не зависит от того, что шайба едет «обратно», — силы и модуль скорости определяются только высотой.