Механика (нет в… — Задание ЕГЭ по физике №00048581

Что тут происходит. Оба шарика стартуют со стола с одинаковыми по модулю скоростями $v_0$, направленными под углом $30^\circ$ к горизонту. Первый летит свободно, второй едет вверх по гладкому склону с тем же углом. Сопротивления воздуха и трения нет. Нужно сравнить наибольшие высоты подъёма.

Модель. Шарики считаем материальными точками. Плоскость гладкая, поэтому второй шарик по ней скользит, а не катится: раскрутить его могла бы только сила трения, а её нет. Плоскость считаем достаточно длинной, чтобы шарик не долетел до её конца.

Главный инструмент — закон сохранения механической энергии: если работу совершает только сила тяжести, сумма кинетической и потенциальной энергии постоянна. Для каждого шарика от старта до наивысшей точки

$$\dfrac{mv_0^2}{2}=mgh+\dfrac{mv_{\text{верх}}^2}{2}.$$

Значит, всё решает скорость $v_{\text{верх}}$ в наивысшей точке: чем она меньше, тем большая доля энергии ушла в высоту.

Шаг 1 — свободно летящий шарик. В полёте на него действует только сила тяжести, а она вертикальна. Поэтому горизонтальная составляющая скорости не меняется: $v_x=v_0\cos30^\circ$ во всё время полёта. В наивысшей точке исчезает только вертикальная составляющая, и шарик движется горизонтально со скоростью $v_{\text{верх}}=v_0\cos30^\circ\neq0$. Отсюда

$$h_1=\dfrac{v_0^2-v_0^2\cos^2 30^\circ}{2g}=\dfrac{v_0^2\sin^2 30^\circ}{2g}=\dfrac{v_0^2}{8g}.$$

Шаг 2 — шарик на наклонной плоскости. На него действуют сила тяжести и сила нормальной реакции плоскости. Реакция гладкой плоскости перпендикулярна плоскости, а шарик движется вдоль неё, поэтому работы она не совершает — закон сохранения механической энергии применим. Вдоль склона шарик тормозит составляющая силы тяжести $mg\sin30^\circ$, и в наивысшей точке он на мгновение останавливается: $v_{\text{верх}}=0$. Вся начальная кинетическая энергия перешла в потенциальную:

$$h_2=\dfrac{v_0^2}{2g}.$$

Шаг 3 — сравнение: $h_2\gt h_1$, причём $\dfrac{h_2}{h_1}=\dfrac{1}{\sin^2 30^\circ}=4$. Второй шарик поднимется выше: у первого в верхней точке остаётся кинетическая энергия горизонтального движения, а у второго — нет.

Проверим себя. Отношение высот $\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$ зависит только от угла. При $\alpha=90^\circ$ оба шарика движутся вертикально вверх (один — в воздухе, другой — вдоль гладкой вертикальной стенки) и поднимаются одинаково: отношение равно $1$, как и должно быть. Чем положе направление старта, тем больше энергии «уносит» горизонтальное движение у свободного шарика и тем сильнее выигрывает шарик на склоне. А если бы шарик катился по шероховатому склону, часть энергии ушла бы во вращение, и подняться так высоко он бы не смог. Важно и то, что плоскость закреплена: незакреплённый клин под давлением шарика поехал бы по столу и забрал часть энергии себе, а в верхней точке шарик двигался бы вместе с клином — высота подъёма вышла бы меньше.