Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00048577

Что здесь происходит. Источник кружит в плоскости, параллельной линзе, — расстояние до линзы всё время одно и то же. Значит, его изображение тоже всё время на одном расстоянии и с одним увеличением: оно бегает по окружности, только другого радиуса, и делает столько же оборотов в минуту.

Дано: $r=8$ см, $\nu=30$ об/мин $=0{,}5$ об/с, $d=15$ см, $F=10$ см. Найти: $v'$.

Шаг 1 — где изображение. По формуле тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$: $\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{1}{30}$, $f=30$ см. Источник между $F$ и $2F$ — изображение действительное, увеличенное, по другую сторону линзы.

Шаг 2 — радиус окружности изображения (чертёж: луч от источника через оптический центр не преломляется; луч параллельно оси после линзы идёт через задний фокус; их пересечение — изображение). Изображение лежит на прямой «источник — центр линзы», поэтому из подобных треугольников с вершиной в центре

$$\dfrac{R}{r}=\dfrac{f}{d}=\dfrac{30}{15}=2=\Gamma,\qquad R=16\ \text{см}.$$

Изображение перевёрнуто: когда источник вверху, изображение внизу, — но по окружности оно идёт с той же частотой.

Шаг 3 — скорость. За один оборот изображение проходит $2\pi R$, оборотов в секунду $\nu$:

$$v'=2\pi\nu R=2\pi\cdot0{,}5\cdot0{,}16\approx0{,}50\ \text{м/с}.$$

В общем виде $v'=2\pi\nu\Gamma r=4\pi\nu r$ (здесь $\Gamma=2$).

Проверим себя другим путём. Скорость самого источника $v=2\pi\nu r=2\pi\cdot0{,}5\cdot0{,}08\approx0{,}25$ м/с; изображение движется по окружности вдвое большего радиуса с той же частотой — его скорость вдвое больше, $0{,}50$ м/с. Сходится.

Почему модель законна. Линзу считаем идеальной тонкой линзой: изображение плоскости, параллельной линзе, — плоскость, и увеличение во всей ней одно. Строго это верно для приосевых лучей; при $r=8$ см и $d=15$ см это приближение, которое в задаче принято.