Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00048573

Что здесь происходит. Свет от точечного источника проходит только через круглую линзу в оправе — за оправу он не попадает. Линза собирает этот конус лучей в точку-изображение, после которой лучи снова расходятся. Экран стоит не в точке изображения, поэтому на нём видно не точку, а светлый круг, край которого задают лучи, прошедшие через самый край оправы.

Дано: оптическая сила $D_0=5$ дптр, источник на $2F$, радиус оправы $r=8$ см, экран на $L=60$ см. Найти: диаметр пятна $D$.

Шаг 1 — фокусное расстояние: $F=\dfrac{1}{D_0}=\dfrac{1}{5}$ м $=20$ см. Источник на $2F=40$ см.

Шаг 2 — изображение. По формуле тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$ при $d=2F$: $\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{40}=\dfrac{1}{40}$, $f=40$ см. Лучи сходятся в точку на оси в $40$ см за линзой.

Шаг 3 — где экран. Экран на $60$ см — дальше точки схождения на $60-40=20$ см. Лучи, пройдя точку изображения, расходятся, и пятно на экране — сечение расходящегося конуса.

Шаг 4 — размер пятна (рисунок: крайний луч от источника через край оправы на высоте $r$ идёт к точке изображения на оси и дальше, уходя под ось). Треугольники с общей вершиной в точке изображения подобны: у линзы высота луча $r$ на расстоянии $40$ см от вершины, на экране — радиус пятна $R$ на расстоянии $20$ см:

$$\dfrac{R}{r}=\dfrac{L-f}{f}=\dfrac{20}{40}=\dfrac{1}{2},\qquad R=4\ \text{см}.$$

Диаметр пятна $D=2R=8$ см. В общем виде $D=2r\cdot\dfrac{L-2F}{2F}=r(D_0L-2)=8\cdot(5\cdot0{,}6-2)=8$ см.

Проверим себя. Пятно размером с саму линзу (диаметр $16$ см) получилось бы на расстоянии $2f=80$ см — там конус расширяется до прежнего размера. Экран на $60$ см — посередине между точкой схождения и этим положением, и пятно вдвое меньше линзы. Сходится.

Почему модель законна. Источник точечный и на оси, линза тонкая, лучи приосевые — все лучи после линзы проходят через одну точку изображения; свет за пределами оправы не проходит, и в однородном воздухе распространяется прямолинейно.