Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00048564

Что здесь происходит. Объектив наведён на точку в $10$ м — плёнка стоит ровно там, где получается изображение этой точки. Если точку поднести ближе, её изображение уйдёт за плёнку: лучи от неё, прошедшие через всё отверстие диафрагмы, сходятся конусом к точке за плёнкой, а плёнка вырезает из этого конуса кружок. Найдём, насколько можно приблизить точку, чтобы радиус кружка был не больше $r=0{,}01$ мм.

Дано: $d=10$ м, $F=48$ мм, $D=30$ мм, $r=0{,}01$ мм. Найти: $\Delta d$.

Шаг 1 — где стоит плёнка. По формуле тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$:

$$f=\dfrac{dF}{d-F}=\dfrac{10\,000\cdot48}{10\,000-48}\ \text{мм}=\dfrac{480\,000}{9952}\ \text{мм}\approx48{,}232\ \text{мм}.$$

Плёнка чуть дальше фокуса — на $0{,}23$ мм.

Шаг 2 — размер пятна (чертёж: объектив с диафрагмой, плёнка, два крайних луча от ближней точки через края диафрагмы сходятся в точке $f'$ за плёнкой). Ближняя точка на расстоянии $d'=d-\Delta d$ даёт изображение на расстоянии $f'\gt f$. Конус лучей имеет у объектива радиус $\dfrac{D}{2}$ и сходится в вершину на расстоянии $f'$. Плёнка стоит на $f'-f$ раньше вершины, и по подобию треугольников радиус пятна

$$\rho=\dfrac{D}{2}\cdot\dfrac{f'-f}{f'}.$$

На границе резкости $\rho=r$, откуда

$$\dfrac{f}{f'}=1-\dfrac{2r}{D}=1-\dfrac{2\cdot0{,}01}{30}=1-\dfrac{1}{1500}.$$

Обозначим $k=\dfrac{2r}{D}=\dfrac{1}{1500}$.

Шаг 3 — где ближняя точка. Из формулы линзы $\dfrac{1}{d'}=\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{f'}$, а $\dfrac{1}{f'}=\dfrac{1-k}{f}=(1-k)\left(\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{d}\right)$. Подставим:

$$\dfrac{1}{d'}=\dfrac{1}{d}+k\left(\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{d}\right)=\dfrac{F+k(d-F)}{Fd}.$$

Так удобнее, чем вычитать близкие числа $f'$ и $F$. Считаем: $k(d-F)=\dfrac{9{,}952}{1500}\approx0{,}006635$ м, и

$$d'=\dfrac{Fd}{F+k(d-F)}=\dfrac{0{,}048\cdot10}{0{,}048+0{,}006635}=\dfrac{0{,}48}{0{,}054635}\approx8{,}786\ \text{м}.$$

Шаг 4 — ответ: $\Delta d=d-d'\approx10-8{,}786\approx1{,}21$ м. В общем виде $\Delta d=\dfrac{2rd(d-F)}{FD+2r(d-F)}$.

Проверим себя. Изображение ближней точки отходит от плёнки всего на $f'-f\approx\dfrac{f}{1500}\approx0{,}032$ мм, а сам предмет сдвинулся больше чем на метр: вдоль оси объектив «сжимает» расстояния примерно в $\left(\dfrac{d}{f}\right)^2$ раз, и $\dfrac{1{,}21\ \text{м}}{0{,}032\ \text{мм}}\approx4\cdot10^4$ — того же порядка, что $\left(\dfrac{10\,000}{48}\right)^2\approx4\cdot10^4$. И с текстом условия всё сходится: при меньшем $D$ растёт $k$, а с ним и $\Delta d$ — глубина резкости увеличивается.

Почему модель законна. Объектив считаем тонкой линзой, точки лежат на оси, диафрагма стоит у линзы и задаёт крайние лучи; размытие считаем по законам геометрической оптики (дифракцию не учитываем).