Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00048563

Что здесь происходит. Параллельный приосевой пучок после собирающей линзы сходится в её главном фокусе. Значит, «точка схождения» — это фокус, и расстояние $F_1$ — фокусное расстояние первой линзы. Нужно понять, как фокусное расстояние зависит от стекла и от кривизны поверхностей, и сравнить две линзы.

Шаг 1 — откуда берётся фокус. Луч, идущий на высоте $y$ над осью, проходит край линзы, похожий на тонкий стеклянный клин. Касательные плоскости к двум сферам радиуса $R$ на этой высоте наклонены к плоскости линзы на углы $\dfrac{y}{R}$ каждая (углы малые, $\sin\alpha\approx\alpha$), поэтому угол «клина» равен $\theta=\dfrac{y}{R}+\dfrac{y}{R}=\dfrac{2y}{R}$.

Тонкий клин с малым углом $\theta$ отклоняет луч на угол $(n-1)\theta$ — это следует из закона преломления при малых углах. Значит, луч на высоте $y$ отклоняется к оси на угол

$$\delta=(n-1)\dfrac{2y}{R}.$$

Угол пропорционален высоте, поэтому все лучи пучка пересекают ось в одной точке на расстоянии $F=\dfrac{y}{\delta}$:

$$F=\dfrac{R}{2(n-1)}.$$

Это и есть формула линзы через показатель преломления и радиусы: $\dfrac{1}{F}=(n-1)\left(\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{R}\right)$ для двояковыпуклой линзы с одинаковыми радиусами.

Шаг 2 — первая линза: $F_1=\dfrac{20}{2\cdot(1{,}5-1)}=\dfrac{20}{1}=20$ см.

Шаг 3 — вторая линза: $F_2=\dfrac{16}{2\cdot(1{,}7-1)}=\dfrac{16}{1{,}4}\approx11{,}43$ см.

Шаг 4 — смещение. Обе линзы стоят на одном месте, поэтому точка схождения сдвигается ровно на разность фокусных расстояний:

$$\Delta F=F_2-F_1\approx11{,}43-20=-8{,}57\ \text{см}\approx-0{,}086\ \text{м}.$$

Минус означает, что точка схождения подошла к линзе примерно на $8{,}6$ см.

Проверим себя. Обе перемены делают линзу «сильнее». Если бы сменили только стекло, фокус стал бы $\dfrac{20}{1{,}4}\approx14{,}3$ см; если бы только радиусы — $\dfrac{16}{1}=16$ см. Оба изменения по отдельности укорачивают фокус, вместе — ещё сильнее, до $11{,}4$ см. Направление сдвига согласуется.

Почему модель законна. Линза тонкая, пучок приосевой: углы малы, и отклонение луча пропорционально его высоте — только поэтому все лучи сходятся в одну точку. Для широкого пучка это нарушилось бы (краевые лучи сходились бы ближе).