Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048549

Что здесь происходит. Кубик съезжает с гладкой горки и въезжает в петлю. Чем выше он поднимается по петле, тем меньше его скорость и тем слабее он давит на стенку. Нужно найти высоту, на которой сила давления равна $4$ Н. Скорость на этой высоте даст закон сохранения энергии, а связь скорости с силой давления — второй закон Ньютона для движения по окружности.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Кубик небольшой по сравнению с радиусом петли — это материальная точка, которая в петле движется по окружности радиуса $R$; её ускорение имеет центростремительную составляющую $\dfrac{v^2}{R}$, направленную к центру $O$. Горка и петля гладкие: на кубик действуют только сила тяжести (потенциальная) и сила реакции стенки, перпендикулярная скорости и потому не совершающая работы, — значит, механическая энергия кубика сохраняется. Сила давления кубика на стенку и сила реакции стенки на кубик по третьему закону Ньютона равны по модулю: $N=F$. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Рисунок сил. В точке на высоте $h$ на кубик действуют сила тяжести $m\vec g$ (вертикально вниз) и сила реакции стенки $\vec N$, направленная по радиусу к центру петли $O$.

Шаг 1 — закон сохранения энергии от старта до точки на высоте $h$:

$$mgH=mgh+\dfrac{mv^2}{2}\quad\Rightarrow\quad mv^2=2mg(H-h).$$

Шаг 2 — второй закон Ньютона по радиусу. Центр петли на высоте $R$. Проекция силы тяжести на направление к центру равна $mg\dfrac{h-R}{R}$: выше центра она направлена к центру (плюс), ниже — от центра (минус), и одно выражение годится в обоих случаях:

$$N+mg\dfrac{h-R}{R}=\dfrac{mv^2}{R}.$$

Шаг 3 — исключаем скорость. Умножим на $R$ и подставим $mv^2$:

$$NR+mg(h-R)=2mg(H-h)\quad\Rightarrow\quad h=\dfrac{2mgH+mgR-FR}{3mg}.$$

Шаг 4 — числа. $mg=15$ Н:

$$h=\dfrac{2\cdot15\cdot2{,}45+15\cdot1{,}5-4\cdot1{,}5}{3\cdot15}=\dfrac{73{,}5+22{,}5-6}{45}=\dfrac{90}{45}=2\ \text{м}.$$

Проверим себя. На высоте $2$ м скорость $v^2=2\cdot10\cdot0{,}45=9\ \text{м}^2/\text{с}^2$; $\dfrac{mv^2}{R}=\dfrac{1{,}5\cdot9}{1{,}5}=9$ Н, а $N+mg\dfrac{h-R}{R}=4+15\cdot\dfrac{0{,}5}{1{,}5}=4+5=9$ Н — сходится. Из шага 3 видно, что сила давления $N=\dfrac{mg(2H+R-3h)}{R}$ убывает с высотой, поэтому такая высота одна. Кубик отрывается там, где $N=0$: $h=\dfrac{2H+R}{3}=\dfrac{6{,}4}{3}\approx2{,}13$ м — выше $2$ м, значит, до найденной точки он доезжает, прижимаясь к стенке.