Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048547

Что здесь происходит. Брусок лежит на столе, нить от него через блок идёт к грузу, а к этому грузу снизу на пружине подвешен второй такой же груз. Грузы опускаются и тянут брусок, вся связка разгоняется. Пружина при этом растянута на постоянную величину — по её силе и растяжению найдём жёсткость.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную со столом (с Землёй), считаем инерциальной. Брусок и грузы движутся поступательно — это материальные точки. Нить невесомая и нерастяжимая, блок гладкий и невесомый: натяжение по обе стороны блока одинаково, модули ускорений бруска и верхнего груза равны. Длина пружины постоянна — нижний груз движется с тем же ускорением. Пружина лёгкая: на оба груза она действует силами, равными по модулю, по закону Гука $F=k(L-l)$. Нить у бруска горизонтальна, поэтому брусок прижат к столу своим весом: трение скольжения $\mu Mg$. Трением в оси блока и о воздух пренебрегаем, силы постоянны.

Рисунок сил. На брусок: $M\vec g$ вниз, $\vec N$ вверх, натяжение $\vec T$ к блоку, трение $\vec F_{\text{тр}}$ от блока. На верхний груз: $m\vec g$ вниз, сила пружины $\vec F_{\text{упр}}$ вниз (растянутая пружина тянет его к нижнему грузу), натяжение $\vec T$ вверх. На нижний груз: $m\vec g$ вниз, сила пружины $\vec F_{\text{упр}}$ вверх.

Шаг 1 — ускорение связки. Складываем уравнения второго закона Ньютона для трёх тел; натяжение и сила пружины — внутренние и сокращаются:

$$(M+2m)a=2mg-\mu Mg\quad\Rightarrow\quad a=\dfrac{2\cdot0{,}2\cdot10-0{,}2\cdot0{,}6\cdot10}{0{,}6+0{,}4}=\dfrac{4-1{,}2}{1}=2{,}8\ \text{м/с}^2.$$

Шаг 2 — сила пружины из уравнения для нижнего груза:

$$ma=mg-F_{\text{упр}}\quad\Rightarrow\quad F_{\text{упр}}=m(g-a)=0{,}2\cdot(10-2{,}8)=1{,}44\ \text{Н}.$$

В общем виде $F_{\text{упр}}=\dfrac{mMg(1+\mu)}{M+2m}$.

Шаг 3 — жёсткость. Растяжение пружины $L-l=14-12=2$ см $=0{,}02$ м:

$$k=\dfrac{F_{\text{упр}}}{L-l}=\dfrac{mMg(1+\mu)}{(M+2m)(L-l)}=\dfrac{1{,}44}{0{,}02}=72\ \text{Н/м}.$$

Проверим себя другим путём — через верхний груз. Натяжение нити из уравнения для бруска: $T=Ma+\mu Mg=0{,}6\cdot2{,}8+1{,}2=2{,}88$ Н. Для верхнего груза $ma=mg+F_{\text{упр}}-T$, откуда $F_{\text{упр}}=0{,}2\cdot2{,}8-2+2{,}88=1{,}44$ Н — то же самое. Ускорение $2{,}8\ \text{м/с}^2$ меньше $g$, поэтому пружина действительно растянута: при $a=g$ нижний груз падал бы свободно и пружина не была бы растянута вовсе.