Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048545

Что здесь происходит. Подвешенный брусок тянет через блок груз, лежащий на доске. Доска лежит на гладком столе, и разгоняет её только сила трения со стороны груза — а эта сила не больше $\mu m_2g$. Чем тяжелее брусок, тем быстрее должна разгоняться вся связка. При слишком тяжёлом бруске трения не хватит, чтобы доска успевала за грузом. Ищем наибольшую массу бруска.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную со столом (с Землёй), считаем инерциальной; блок закреплён на столе и неподвижен в ней. Системы, связанные с доской или грузом, не инерциальны — они разгоняются. Все тела движутся поступательно — это материальные точки. Нить невесомая и нерастяжимая, блок невесомый, трения в оси нет: натяжение нити по обе стороны блока одинаково, модули ускорений груза и бруска равны. При движении «как единое целое» ускорения груза и доски равны. Между грузом и доской — трение покоя, не больше $\mu m_2g$ (нить у груза параллельна столу, груз прижат к доске своим весом). Стол гладкий. Нить привязана к грузу, поэтому на доску по горизонтали действует только сила трения со стороны груза (третий закон Ньютона).

Рисунок сил. На брусок: $m_3\vec g$ вниз, натяжение $\vec T$ вверх. На груз: $m_2\vec g$ вниз, реакция доски вверх, натяжение $\vec T$ к блоку, трение со стороны доски назад. На доску: $m_1\vec g$ вниз, сила давления груза вниз, реакция стола вверх, трение со стороны груза вперёд.

Шаг 1 — массы. $m_1=6m=12$ кг, $m_2=3m=6$ кг.

Шаг 2 — наибольшее ускорение доски. Для доски $m_1a=F_{\text{тр}}\le\mu m_2g$:

$$a_{\max}=\dfrac{\mu m_2g}{m_1}=\dfrac{0{,}2\cdot6\cdot10}{12}=1\ \text{м/с}^2.$$

Шаг 3 — ускорение всей связки. Внутренние силы (натяжение, трение между грузом и доской) при сложении уравнений уходят:

$$(m_1+m_2+m_3)a=m_3g\quad\Rightarrow\quad a=\dfrac{m_3g}{m_1+m_2+m_3}.$$

Шаг 4 — условие. Связка движется как целое, пока $a\le a_{\max}$:

$$\dfrac{m_3g}{m_1+m_2+m_3}\le\dfrac{\mu m_2g}{m_1}\quad\Rightarrow\quad m_3\le\dfrac{\mu m_2(m_1+m_2)}{m_1-\mu m_2}=\dfrac{9\mu m}{2-\mu}=\dfrac{0{,}2\cdot6\cdot18}{12-1{,}2}=\dfrac{21{,}6}{10{,}8}=2\ \text{кг}.$$

Проверим себя. При $m_3=2$ кг ускорение $\dfrac{20}{20}=1\ \text{м/с}^2$ — ровно предельное. Натяжение $T=m_3(g-a)=2\cdot9=18$ Н. Для груза: $T-F_{\text{тр}}=18-12=6$ Н, $m_2a=6$ Н — сходится, а $F_{\text{тр}}=12$ Н $=\mu m_2g$, трение на пределе.