Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048544

Что здесь происходит. Подвешенный брусок через нить тянет груз, лежащий на доске. Доска лежит на гладком столе и сама по себе никем не тянется: её может увлечь только сила трения со стороны груза. Если трение слабое, груз поедет по доске, а доска отстанет. Нужно найти наименьший коэффициент трения, при котором груз и доска едут вместе.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную со столом (с Землёй), считаем инерциальной. Все три тела движутся поступательно — это материальные точки. Нить невесомая и нерастяжимая, блок невесомый и без трения в оси: натяжение нити по обе стороны блока одинаково, модули ускорений груза и бруска равны. Если груз и доска движутся как единое целое, их ускорения тоже равны. Между грузом и доской действует трение покоя, не больше $\mu N$; участок нити у груза параллелен столу, поэтому груз прижат к доске только своим весом: $N=m_2g$. Стол гладкий — трения между доской и столом нет. Силы трения, с которыми груз и доска действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны (третий закон Ньютона).

Рисунок сил. На брусок: $m_3\vec g$ вниз, натяжение $\vec T$ вверх. На груз: $m_2\vec g$ вниз, реакция доски вверх, натяжение $\vec T$ к блоку, трение со стороны доски $\vec F_{\text{тр}}$ назад. На доску: $m_1\vec g$ вниз, сила давления груза вниз, реакция стола вверх, трение со стороны груза вперёд (к блоку).

Шаг 1 — ускорение. Сложим уравнения второго закона Ньютона для трёх тел: натяжение и трение между грузом и доской — внутренние силы. Разгоняет всю систему только сила тяжести бруска:

$$(m_1+m_2+m_3)a=m_3g\quad\Rightarrow\quad a=\dfrac{3m}{10m}\,g=0{,}3\cdot10=3\ \text{м/с}^2.$$

Шаг 2 — что нужно доске. По горизонтали на доску действует только сила трения со стороны груза:

$$F_{\text{тр}}=m_1a.$$

Если массу $m$ брать в килограммах, это $4m\cdot3=12m$ ньютонов.

Шаг 3 — условие совместного движения. Трение покоя не больше $\mu m_2g$:

$$m_1a\le\mu m_2g\quad\Rightarrow\quad\mu\ge\dfrac{m_1a}{m_2g}=\dfrac{m_1m_3}{m_2(m_1+m_2+m_3)}=\dfrac{4\cdot3}{3\cdot10}=0{,}4.$$

Наименьший коэффициент $\mu_{\min}=0{,}4$. Масса $m$ в ответ не входит: все массы заданы через неё, и в отношении она уходит.

Проверим себя. Натяжение нити из уравнения для груза: $m_2a=T-F_{\text{тр}}$, $T=3m\cdot3+12m=21m$. Для бруска: $m_3g-T=30m-21m=9m$, а $m_3a=3m\cdot3=9m$ — сходится. Натяжение $21m$ меньше силы тяжести бруска $30m$, как и должно быть: брусок опускается с ускорением.