Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048543

Что здесь происходит. Груз $M$ лежит на шероховатом столе, нить от него идёт через блок к двум одинаковым брускам, висящим друг под другом на пружине. Бруски опускаются и тащат груз по столу, вся связка разгоняется. Пружина растянута на постоянные $2$ см — по её силе нужно найти массу брусков.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную со столом (с Землёй), считаем инерциальной. Все тела движутся поступательно — это материальные точки. Нить невесомая и нерастяжимая, блок идеальный: натяжение нити по обе стороны блока одинаково, а модули ускорений груза и верхнего бруска равны. Длина пружины постоянна, значит, нижний брусок движется с тем же ускорением, что и верхний. Пружина лёгкая: силы, с которыми она действует на оба бруска, равны по модулю и подчиняются закону Гука $F=k\Delta l$. Нить у груза горизонтальна, поэтому груз прижат к столу только своим весом: $N=Mg$, сила трения скольжения $\mu Mg$. Висящие бруски стола не касаются — трение на них не действует. Силы постоянны, движение равноускоренное; сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Рисунок сил. На груз $M$: $M\vec g$ вниз, $\vec N$ вверх, натяжение $\vec T$ к блоку, трение $\vec F_{\text{тр}}$ от блока. На верхний брусок: $m\vec g$ и сила пружины $\vec F_{\text{упр}}$ вниз, натяжение $\vec T$ вверх. На нижний брусок: $m\vec g$ вниз, сила пружины $\vec F_{\text{упр}}$ вверх.

Шаг 1 — ускорение связки. Сложим уравнения второго закона Ньютона для трёх тел: натяжение и сила пружины — внутренние силы и сокращаются. Разгоняет вес двух брусков, тормозит трение:

$$(M+2m)a=2mg-\mu Mg.$$

Шаг 2 — нижний брусок. На него действуют только сила тяжести и пружина:

$$ma=mg-k\Delta l\quad\Rightarrow\quad k\Delta l=m(g-a).$$

Шаг 3 — исключаем ускорение. Из шага 1 $g-a=\dfrac{(M+2m)g-2mg+\mu Mg}{M+2m}=\dfrac{Mg(1+\mu)}{M+2m}$, поэтому

$$k\Delta l=\dfrac{mMg(1+\mu)}{M+2m}\quad\Rightarrow\quad m=\dfrac{k\Delta l\,M}{Mg(1+\mu)-2k\Delta l}.$$

Шаг 4 — числа. $k\Delta l=80\cdot0{,}02=1{,}6$ Н, $Mg(1+\mu)=0{,}8\cdot10\cdot1{,}2=9{,}6$ Н:

$$m=\dfrac{1{,}6\cdot0{,}8}{9{,}6-3{,}2}=\dfrac{1{,}28}{6{,}4}=0{,}2\ \text{кг}=200\ \text{г}.$$

Проверим себя. Ускорение связки $a=\dfrac{2\cdot0{,}2\cdot10-0{,}2\cdot8}{0{,}8+0{,}4}=\dfrac{4-1{,}6}{1{,}2}=2\ \text{м/с}^2$ — меньше $g$, и вес брусков $4$ Н больше силы трения $1{,}6$ Н, так что бруски действительно идут вниз. Нижний брусок: $m(g-a)=0{,}2\cdot8=1{,}6$ Н — ровно сила пружины $k\Delta l$.