Влажность — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048508

Что тут происходит. Пока цилиндр лежал, поршень был «весами без гирь»: его вес давил на стенку, а не на газы, и давления по обе стороны были равны. Когда цилиндр поставили, вес поршня стал давить на пар снизу. Поршень опускается: пар сжимается, воздух сверху расширяется. Хитрость в том, что пар насыщенный: сжимаясь при той же температуре, он не повышает давление, а частично превращается в воду. Поэтому давление пара так и остаётся $p_{\text{н}}$, а всё изменение берёт на себя воздух.

Дано: $m=5$ кг, $V=1$ л $=10^{-3}$ м³, $p_{\text{н}}=10^5$ Па, $S=0{,}01$ м², $g=10$ м/с², $T=\text{const}$. Найти: $x$.

Шаг 1 — давление воздуха до поворота. В горизонтальном цилиндре поршень покоился, а вес его вдоль оси цилиндра не действует. Значит, давления по обе стороны равны: воздух был под давлением $p_1=p_{\text{н}}=10^5$ Па.

Шаг 2 — давление пара после поворота. Пар снизу сжимается при постоянной температуре. Насыщенный пар при этом не может стать «плотнее насыщенного»: лишний пар конденсируется, а давление остаётся $p_{\text{н}}$. (Пар конденсирует лишь частично — проверим в конце.)

Шаг 3 — равновесие поршня в вертикальном положении. Снизу на поршень давит пар с силой $p_{\text{н}}S$, сверху — воздух с силой $p_2S$ и вниз тянет сила тяжести $mg$:

$$p_{\text{н}}S=p_2S+mg\quad\Rightarrow\quad p_2=p_{\text{н}}-\dfrac{mg}{S}=10^5-\dfrac{5\cdot10}{0{,}01}=10^5-5000=9{,}5\cdot10^4\ \text{Па}.$$

Шаг 4 — воздух расширился изотермически. Его объём стал $V+Sx$, и по закону Бойля–Мариотта

$$p_{\text{н}}V=p_2(V+Sx)\quad\Rightarrow\quad Sx=V\left(\dfrac{p_{\text{н}}}{p_2}-1\right)=10^{-3}\left(\dfrac{10^5}{9{,}5\cdot10^4}-1\right)\approx5{,}26\cdot10^{-5}\ \text{м}^3.$$

Шаг 5 — смещение поршня:

$$x=\dfrac{5{,}26\cdot10^{-5}}{0{,}01}\approx5{,}3\cdot10^{-3}\ \text{м}\approx5{,}3\ \text{мм}.$$

В общем виде: $x=\dfrac{mgV}{S(p_{\text{н}}S-mg)}=\dfrac{50\cdot10^{-3}}{0{,}01\cdot950}\approx5{,}3\cdot10^{-3}$ м.

Проверим себя. Длина каждой части цилиндра $\dfrac{V}{S}=\dfrac{10^{-3}}{0{,}01}=0{,}1$ м $=10$ см. Поршень опустился на $5{,}3$ мм — пар занял $\approx9{,}5$ см вместо $10$, сконденсировалась лишь малая его часть, так что пар действительно остался насыщенным и давление $p_{\text{н}}$ законно. И знак верный: давление воздуха упало до $95$ кПа, меньше прежних $100$ кПа, — воздух расширился, поршень пошёл вниз.