Влажность — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048418

Что здесь происходит. Увлажнитель за час превращает в пар $0{,}2$ л воды, и весь этот пар остаётся в закрытой комнате. Пара в воздухе становится больше — растёт относительная влажность. Нужно понять, сколько пара надо добавить, чтобы влажность выросла с 30 % до 65 %, и за сколько часов увлажнитель столько выпарит.

Дано: $V=4\cdot5\cdot3=60$ м³, $t=20\ ^\circ\text{C}$, то есть $T=293$ К, $\varphi_1=0{,}30$, $\varphi_2=0{,}65$, $p_{\text{н}}=2{,}33$ кПа $=2330$ Па, производительность $I=0{,}2$ л/ч. Найти: $\tau$.

Шаг 1 — что такое относительная влажность. Это доля, которую реальное (парциальное) давление водяного пара составляет от давления насыщенного пара при той же температуре: $\varphi=\dfrac{p_{\text{п}}}{p_{\text{н}}}$. Температура в комнате остаётся $20\ ^\circ\text{C}$, поэтому $p_{\text{н}}=2330$ Па не меняется. Меняется только давление пара:

$$p_{\text{п}1}=\varphi_1p_{\text{н}}=0{,}30\cdot2330=699\ \text{Па},\qquad p_{\text{п}2}=\varphi_2p_{\text{н}}=0{,}65\cdot2330=1514{,}5\ \text{Па}.$$

Обрати внимание: это давления только пара. Давление всего воздуха в комнате около $100$ кПа, но в расчёт массы пара оно не входит.

Шаг 2 — масса пара через его давление. Водяной пар в воздухе — разреженный газ, для него работает уравнение Менделеева — Клапейрона $p_{\text{п}}V=\dfrac{m}{\mu}RT$, где $\mu=18$ г/моль $=0{,}018$ кг/моль — молярная масса воды. Объём $V$ и температура $T$ в начале и в конце одинаковы, поэтому прибавка массы пара пропорциональна прибавке его давления:

$$\Delta m=\dfrac{(\varphi_2-\varphi_1)\,p_{\text{н}}V\mu}{RT}=\dfrac{0{,}35\cdot2330\cdot60\cdot0{,}018}{8{,}31\cdot293}=\dfrac{880{,}7}{2434{,}8}\approx0{,}362\ \text{кг}.$$

Шаг 3 — сколько воды испаряет увлажнитель. $0{,}2$ л — это объём жидкой воды, а литр воды имеет массу $1$ кг. Значит, увлажнитель добавляет в воздух $0{,}2$ кг пара в час.

Шаг 4 — время работы:

$$\tau=\dfrac{\Delta m}{0{,}2\ \text{кг/ч}}=\dfrac{0{,}362}{0{,}2}\approx1{,}8\ \text{ч}\ (\approx108\ \text{мин}).$$

Проверим себя обратным расчётом. За $1{,}8$ ч в воздух уйдёт $0{,}2\cdot1{,}8=0{,}36$ кг пара. Прибавка давления пара $\Delta p=\dfrac{\Delta m\,RT}{\mu V}=\dfrac{0{,}36\cdot2434{,}8}{0{,}018\cdot60}\approx812$ Па, это $\dfrac{812}{2330}\approx0{,}35$ давления насыщенного пара. Значит, влажность вырастет на 35 %: с 30 % до 65 %. Сходится.

Почему модель законна. Водяной пар считаем идеальным газом: он далёк от насыщения (65 % меньше 100 %), роса не выпадает. Комната герметична, поэтому весь испарённый увлажнителем пар остаётся в её объёме. Температура воздуха по условию не меняется ($20\ ^\circ\text{C}$), а значит, не меняется и давление насыщенного пара.