Влажность — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048129

Что здесь происходит. Под лёгким поршнем — влажный воздух, смесь сухого воздуха и водяного пара при $100\ ^\circ\text{C}$. На поршень сыплют песок, и он медленно сжимает смесь при постоянной температуре. Когда объём уменьшился в $k=6$ раз, на стенках выступило $0{,}2$ г росы. Найти нужно массу песка $M$. Площадь поршня нам не дали — её придётся добыть из массы росы.

Шаг 1 — давление насыщенного пара. Вода кипит при $100\ ^\circ\text{C}$ как раз при нормальном атмосферном давлении — это значит, что при $100\ ^\circ\text{C}$ давление насыщенного пара равно нормальному атмосферному: $p_{\text{н}}=p_0\approx1{,}013\cdot10^5$ Па.

Шаг 2 — начальное состояние. Песка нет, поршень невесомый, трения нет — давление смеси под поршнем равно $p_0$. По закону Дальтона оно складывается из давления пара $\varphi p_{\text{н}}=0{,}2p_0$ (определение относительной влажности) и давления сухого воздуха:

$$p_{\text{в}1}=p_0-0{,}2p_0=0{,}8p_0.$$

Шаг 3 — убедимся, что пар действительно стал насыщенным. Если бы пар не конденсировался, при сжатии в $6$ раз его давление по закону Бойля — Мариотта выросло бы до $6\cdot0{,}2p_0=1{,}2p_0$, а это больше давления насыщенного пара $p_0$. Так не бывает — значит, часть пара обязана сконденсироваться (что и подтверждает роса), а оставшийся пар насыщенный: его давление в конце равно $p_{\text{н}}=p_0$.

Шаг 4 — сухой воздух в конце. Его масса не меняется, температура постоянна, объём уменьшился в $6$ раз — по закону Бойля — Мариотта давление выросло в $6$ раз:

$$p_{\text{в}2}=6\cdot0{,}8p_0=4{,}8p_0.$$

Значит, полное давление в конце $p_2=4{,}8p_0+p_0=5{,}8p_0$.

Шаг 5 — равновесие поршня. Поршень невесомый и движется медленно, поэтому силы на него уравновешены (второй закон Ньютона при нулевом ускорении): снизу смесь давит с силой $p_2S$, сверху атмосфера с силой $p_0S$ и песок весом $Mg$:

$$p_2S=p_0S+Mg\quad\Rightarrow\quad M=\dfrac{(p_2-p_0)S}{g}=\dfrac{4{,}8p_0S}{g}.$$

Шаг 6 — площадь поршня из массы росы. Массу пара запишем через уравнение Менделеева — Клапейрона $pV=\dfrac{m}{\mu}RT$ ($\mu=0{,}018$ кг/моль — молярная масса воды). В начале пар занимает объём $SH$ при давлении $0{,}2p_0$, в конце — объём $\dfrac{SH}{6}$ при давлении $p_0$. Исчезнувшая масса пара — это роса:

$$m=\dfrac{\mu\cdot0{,}2p_0SH}{RT}-\dfrac{\mu p_0SH}{6RT}=\dfrac{\mu p_0SH}{RT}\left(0{,}2-\dfrac{1}{6}\right)=\dfrac{\mu p_0SH}{30RT}.$$

Здесь $0{,}2-\dfrac{1}{6}=\dfrac{6}{30}-\dfrac{5}{30}=\dfrac{1}{30}$. Отсюда

$$S=\dfrac{30mRT}{\mu p_0H}=\dfrac{30\cdot2\cdot10^{-4}\cdot8{,}31\cdot373}{0{,}018\cdot1{,}013\cdot10^5\cdot2}\approx\dfrac{18{,}6}{3647}\approx5{,}1\cdot10^{-3}\ \text{м}^2,$$

то есть около $51$ см² — разумный размер поршня. Температуру взяли в кельвинах: $T=100+273=373$ К, массу росы — в килограммах: $0{,}2$ г $=2\cdot10^{-4}$ кг.

Шаг 7 — масса песка. Подставим площадь в формулу из шага 5. Удобно сделать это в общем виде: давление $p_0$ сокращается,

$$M=\dfrac{4{,}8p_0}{g}\cdot\dfrac{30mRT}{\mu p_0H}=\dfrac{144\,mRT}{\mu gH}=\dfrac{144\cdot2\cdot10^{-4}\cdot8{,}31\cdot373}{0{,}018\cdot10\cdot2}.$$

Числитель: $2\cdot10^{-4}\cdot8{,}31\cdot373\approx0{,}620$, и $144\cdot0{,}620\approx89{,}3$. Знаменатель: $0{,}018\cdot10\cdot2=0{,}36$. Получаем $M\approx\dfrac{89{,}3}{0{,}36}\approx248$ кг.

Проверим себя. Давление под поршнем в конце $5{,}8p_0$, то есть песок добавляет $4{,}8p_0\approx4{,}9\cdot10^5$ Па. На площадь $5{,}1\cdot10^{-3}$ м² это сила около $2{,}5\cdot10^3$ Н — вес примерно $250$ кг. Сходится.

Почему модель законна. Сухой воздух и пар до насыщения считаем идеальными газами — для них верны уравнение Менделеева — Клапейрона и закон Бойля — Мариотта, а давление смеси складывается по закону Дальтона. Давление насыщенного пара зависит только от температуры, а она постоянна. Поршень невесомый, стенки гладкие, песок насыпают медленно — поэтому поршень всё время в равновесии. Объём росы ничтожен по сравнению с объёмом газа.