Влажность — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048503

Что тут происходит. Давление атмосферы у поверхности — это вес воздуха, который «лежит» на каждом квадратном метре. Четверть этого веса приходилась на метан. Когда похолодало, метан с планеты никуда не делся: часть его стала жидкостью и налилась океаном, а часть осталась паром над океаном. Значит, вес всего метана над квадратным метром остался прежним — он просто поделился между жидкостью и паром. Из этого «было = стало» и найдём глубину.

Дано: $p_0=1{,}6\cdot10^5$ Па, доля метана по массе $\dfrac14$, $g=1{,}4$ м/с², $r=0{,}5$, $p_{\text{н}}=4\cdot10^4$ Па, $\rho=430$ кг/м³. Найти: $h$.

Модель. Высота атмосферы и глубина океана много меньше радиуса планеты, поэтому площадь, на которую ложится вес, можно считать одной и той же на любой высоте, а ускорение $g$ — постоянным. Вращением пренебрегаем, значит, сила давления на поверхность равна весу столба.

Теперь главное — как поделить давление между азотом и метаном. Молекулы разных газов почти не мешают друг другу: по закону Дальтона каждый газ смеси давит так, будто других нет. Поэтому в спокойной атмосфере каждый газ держится в поле тяжести сам по себе — у азота свой столб, у метана свой, — и давление метана у поверхности равно весу только метанового столба над квадратным метром. Именно поэтому в условии доли даны по массе, а молярные массы газов не названы: в этой модели они не нужны.

Можно представить и другую модель — атмосферу, которую ветры перемешали так, что состав на любой высоте одинаков. Тогда давление делилось бы между газами по числу молекул, понадобились бы молярные массы азота ($28$ г/моль) и метана ($16$ г/моль), и глубина океана вышла бы около $46$ м. Но такой модели условие не задаёт: о перемешивании в нём ни слова, молярных масс нет, а доли названы именно по массе. Поэтому решаем в первой модели.

Шаг 1 — сколько метана было. Давление у поверхности $p_0=\dfrac{Mg}{S}$, где $M$ — масса всей атмосферы над площадью $S$. Метан составляет четверть массы, поэтому на квадратный метр приходится вес метана

$$\dfrac{M_{\text{м}}g}{S}=\dfrac{p_0}{4}=\dfrac{1{,}6\cdot10^5}{4}=4\cdot10^4\ \text{Па}.$$

Важно: делим $p_0$ именно по долям массы, потому что давление здесь — вес, а вес пропорционален массе (а не числу молекул).

Шаг 2 — сколько метана осталось паром. Давление паров метана у поверхности океана равно $r$ от давления насыщенных паров:

$$p_{\text{п}}=rp_{\text{н}}=0{,}5\cdot4\cdot10^4=2\cdot10^4\ \text{Па}.$$

По модели это и есть вес метанового пара над квадратным метром.

Шаг 3 — сколько метана стало жидкостью. Слой жидкости глубиной $h$ давит на дно с давлением $\rho gh$. Масса метана сохранилась, значит, вес жидкого и газообразного метана вместе равен прежнему весу метана:

$$\rho gh+rp_{\text{н}}=\dfrac{p_0}{4}.$$

Шаг 4 — глубина:

$$h=\dfrac{\dfrac{p_0}{4}-rp_{\text{н}}}{\rho g}=\dfrac{4\cdot10^4-2\cdot10^4}{430\cdot1{,}4}=\dfrac{2\cdot10^4}{602}\approx33\ \text{м}.$$

Проверим себя. Числитель положительный: метана было больше, чем может удержать пар, — значит, океан действительно образовался. Если бы давление насыщенных паров было $80$ кПа или больше, при $r=50\,\%$ весь метан остался бы паром и глубина вышла бы нулевой или отрицательной — океана бы не было. Размерность: $\dfrac{\text{Па}}{\text{кг/м}^3\cdot\text{м/с}^2}=\dfrac{\text{Н/м}^2}{\text{Н/м}^3}=\text{м}$.

И про азот: в океан он не попал, его давление у поверхности осталось $\dfrac34p_0=1{,}2\cdot10^5$ Па. Полное давление над океаном стало $1{,}2\cdot10^5+2\cdot10^4=1{,}4\cdot10^5$ Па — меньше прежнего $p_0$, потому что часть веса атмосферы перешла в жидкость.