Динамика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00048497

Что тут происходит. На столе лежит груз, от него нить идёт к блоку на краю стола и дальше вниз — к висящему грузу массой $0{,}5$ кг. Грузы трогаются из состояния покоя: висящий груз опускается с ускорением $2\ \text{м/с}^2$ и тянет за собой груз на столе к блоку. Сила $\vec F$ по рисунку тянет груз на столе в обратную сторону — от блока, и ещё ему мешает трение. Нужно найти массу груза на столе.

Дано: $m=0{,}5\ \text{кг}$ — масса висящего груза, $\mu=0{,}1$, $F=1\ \text{Н}$, $a=2\ \text{м/с}^2$, $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти: $M$ — массу груза на столе.

Шаг 0 — куда едут грузы. Грузы начинают двигаться из состояния покоя, а ускорение висящего груза направлено вниз. Значит, он сразу пошёл вниз — опускается, а груз на столе едет к блоку. Это важно для трения: сила трения направлена против скорости, поэтому на груз на столе она действует от блока.

Шаг 1 — связь грузов. Нить нерастяжима — грузы проходят одинаковые пути за одно и то же время, поэтому модули их ускорений равны: груз на столе тоже разгоняется с ускорением $2\ \text{м/с}^2$, только горизонтально. Блок идеальный, нить лёгкая — натяжение $T$ по обе стороны блока одинаково.

Шаг 2 — висящий груз. На него действуют сила тяжести $mg$ вниз и сила натяжения $T$ вверх, ускорение направлено вниз. Второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вниз:

$$mg-T=ma\quad\Rightarrow\quad T=m(g-a)=0{,}5\cdot(10-2)=4\ \text{Н}.$$

Натяжение меньше силы тяжести этого груза ($5$ Н) — так и должно быть, иначе он не разгонялся бы вниз.

Шаг 3 — груз на столе. По вертикали он не движется, сила $\vec F$ горизонтальна, поэтому сила нормальной реакции $N=Mg$, а сила трения скольжения $F_{\text{тр}}=\mu Mg$ (здесь масса именно груза на столе). По горизонтали к блоку его тянет натяжение $T$, от блока — сила $F$ и трение. Второй закон Ньютона в проекции на направление движения (к блоку):

$$T-F-\mu Mg=Ma.$$

Шаг 4 — выражаем массу. Слагаемые с $M$ переносим в одну сторону: $T-F=M(a+\mu g)$, откуда

$$M=\dfrac{m(g-a)-F}{a+\mu g}=\dfrac{4-1}{2+0{,}1\cdot10}=\dfrac{3}{3}=1\ \text{кг}.$$

Проверим себя. Сила трения $\mu Mg=0{,}1\cdot1\cdot10=1$ Н. На груз на столе вперёд действует $4$ Н, назад $1+1=2$ Н; натяжение действительно больше суммы силы $F$ и трения, равнодействующая $2$ Н при массе $1$ кг даёт ускорение $2\ \text{м/с}^2$ — как в условии. Для всей связки: $mg-F-\mu Mg=5-1-1=3$ Н разгоняют $0{,}5+1=1{,}5$ кг с ускорением $2\ \text{м/с}^2$. Всё сходится.