Динамика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00048152

Что тут происходит. Через блок перекинута нить: слева висит лёгкая чашка, справа на подставке стоит груз потяжелее. Над дном чашки держат ещё один груз, отпускают — он падает в чашку и прилипает. От удара чашка дёргается вниз, нить дёргает правый груз вверх, и он подскакивает над подставкой. Нужно найти, на какую высоту.

Дано: $m_1=1$ кг, $m_2=0{,}5$ кг, $m_3=2$ кг, $H=0{,}4$ м, $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти: $h$.

Шаг 0 — что было до удара. Нить тянет чашку и правый груз одной и той же силой (блок идеальный, нить невесомая). Чашка висит неподвижно, значит натяжение $T_0=m_1g=10$ Н. Правый груз весит $m_3g=20$ Н — больше, поэтому он стоит на подставке, а подставка добирает недостающую силу. Всё в покое.

Шаг 1 — падение груза $m_2$. Он падает свободно с высоты $H$ относительно дна чашки (чашка в это время неподвижна). По закону сохранения механической энергии $\dfrac{m_2v_0^2}{2}=m_2gH$, откуда

$$v_0=\sqrt{2gH}=\sqrt{2\cdot10\cdot0{,}4}=\sqrt8\approx2{,}83\ \text{м/с}.$$

Шаг 2 — удар. Груз прилипает к чашке, и за очень короткое время удара чашка вместе с грузом и груз $m_3$ приобретают одну и ту же по модулю скорость $u$ (нить нерастяжима; подставка не может удержать груз $m_3$, она только толкает его вверх). Здесь есть тонкость: обычный закон сохранения импульса системы применять нельзя — ось блока действует на нить ударной силой. Поэтому запишем второй закон Ньютона в импульсной форме для каждого тела вдоль нити. Во время удара нить действует на оба конца одинаковой большой силой, её импульс за удар обозначим $J$; силами тяжести за короткий удар пренебрегаем.

Для чашки с грузом (положительное направление — вниз): $(m_1+m_2)u-m_2v_0=-J$. Для груза $m_3$ (положительное направление — вверх): $m_3u=J$. Складываем:

$$m_2v_0=(m_1+m_2+m_3)u\quad\Rightarrow\quad u=\dfrac{m_2v_0}{m_1+m_2+m_3}=\dfrac{0{,}5\cdot2{,}83}{3{,}5}\approx0{,}40\ \text{м/с}.$$

Шаг 3 — движение после удара. Теперь слева висит $m_1+m_2=1{,}5$ кг, справа $m_3=2$ кг. Правый груз тяжелее, а едет вверх — значит связка тормозит. Второй закон Ньютона для всей связки вдоль нити (разность сил тяжести разгоняет общую массу) даёт модуль ускорения

$$a=\dfrac{(m_3-m_1-m_2)g}{m_1+m_2+m_3}=\dfrac{0{,}5\cdot10}{3{,}5}\approx1{,}43\ \text{м/с}^2.$$

Шаг 4 — высота подъёма. Груз $m_3$ равнозамедленно поднимается от скорости $u$ до нуля, поэтому $u^2=2ah$, то есть

$$h=\dfrac{u^2}{2a}=\dfrac{m_2^2H}{(m_1+m_2+m_3)(m_3-m_1-m_2)}=\dfrac{0{,}25\cdot0{,}4}{3{,}5\cdot0{,}5}=\dfrac{0{,}1}{1{,}75}\approx0{,}057\ \text{м}\approx5{,}7\ \text{см}.$$

Проверим себя энергией. Сразу после удара кинетическая энергия связки $\dfrac{3{,}5\cdot0{,}40^2}{2}\approx0{,}29$ Дж. Когда $m_3$ поднимется на $h$, а чашка опустится на $h$, потенциальная энергия вырастет на $(m_3-m_1-m_2)gh=0{,}5\cdot10\cdot0{,}057\approx0{,}29$ Дж — сходится. И смысл формулы понятен: если бы чашка с грузом весила не меньше правого груза ($m_1+m_2\ge m_3$), связка не тормозила бы и $m_3$ не остановился бы — знаменатель как раз обращается в ноль.