Гидростатика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00048496

Что тут происходит. В сосуде две жидкости, которые не смешиваются: лёгкая (плотность $\rho_1$) лежит сверху, тяжёлая ($\rho_2=2\rho_1$) — снизу. Шарик плавает на их границе: часть его объёма — в верхней жидкости, часть — в нижней. Нужно подобрать плотность шарика так, чтобы над границей оказалась ровно четверть его объёма.

Дано: $\rho_1=400\ \text{кг/м}^3$, $\rho_2=2\rho_1=800\ \text{кг/м}^3$, объём шарика над границей $V_1=\dfrac{V}{4}$. Найти: $\rho$.

Шаг 1 — где какая часть шарика. «Выше границы раздела» — значит, в верхней жидкости плотностью $\rho_1$: сверху шарик целиком покрыт верхним слоем (см. рисунок). Остальная часть объёма, $V_2=V-\dfrac{V}{4}=\dfrac{3V}{4}$, находится в нижней жидкости.

Шаг 2 — силы. На шарик действуют сила тяжести $mg=\rho Vg$ вниз и выталкивающие силы вверх. Каждая жидкость выталкивает шарик с силой, равной весу той жидкости, которую вытеснила находящаяся в ней часть шарика:

$$F_1=\rho_1 g\dfrac{V}{4},\qquad F_2=\rho_2 g\dfrac{3V}{4}.$$

Почему верхняя жидкость тоже толкает вверх, хотя давит на шарик сверху? Давление в нижней жидкости создаёт не только она сама, но и вес верхнего слоя над ней. Поэтому снизу на шарик давят сильнее, чем сверху, и вклад верхней жидкости в результирующую силу направлен вверх.

Шаг 3 — условие плавания. Шарик неподвижен, поэтому по второму закону Ньютона сумма сил равна нулю:

$$\rho Vg=\rho_1 g\dfrac{V}{4}+\rho_2 g\dfrac{3V}{4}.$$

Объём $V$ и $g$ стоят в каждом слагаемом, делим на них:

$$\rho=\dfrac{\rho_1}{4}+\dfrac{3\rho_2}{4}=\dfrac{\rho_1}{4}+\dfrac{3\cdot2\rho_1}{4}=\dfrac{7\rho_1}{4}.$$

Шаг 4 — число: $\rho=\dfrac{7\cdot400}{4}=700\ \text{кг/м}^3$.

Проверим себя. Плотность шарика $700$ кг/м³ больше, чем у верхней жидкости ($400$), — поэтому в ней шарик тонет, и меньше, чем у нижней ($800$), — поэтому в ней всплывает: он и должен «застрять» на границе. «Рычаг плотностей»: $700-400=300$ и $800-700=100$, отношение $300:100=3:1$ — ровно как объёмы частей в нижней и верхней жидкостях ($\dfrac{3V}{4}$ и $\dfrac{V}{4}$). При $\rho_2=\rho_1$ формула дала бы $\rho=\rho_1$ — шарик из вещества той же плотности плавает внутри жидкости в любом положении, как и должно быть.